Помогите решить задачу

[keyson]

Даны три некомпланарных вектора a,b,c. Найти вектор x, удовлетворяющий системе уравнений
(а,х)=альфа (b,x)=бетта (с,х)=гамма
`{((vec(a), vec(x)) = alpha), ((vec(b), vec(x)) = beta), ((vec(c), vec(x))= gamma):}`
Я даже не понимаю с чего начинать? То что вектора некомпланарны говорит о том что они не лежат в одной плоскости, надо ли здесь раскрывать это скалярное произведение?

@темы: Системы линейных уравнений, Векторная алгебра

Comments

[All_ex]

keyson, Давно пора выучить правила сообщества... и научиться пользоваться вот этим - eek.diary.ru/p164249281.htm ...

Введите обозначение координат искомого вектора... вычислите скалярные произведения и получите систему линейных уравнений...

[~ghost]

.. и в продолжение того, что сказал All_ex: то, что они не лежат в одной плоскости ( не компланарны, смешанное произведение НЕ равно нулю) - будет означать только, что определитель матрицы коэффициентов в системе, которую Вы запишете - будет не равен нулю ( и система будет иметь единственное решение)

[All_ex]

Хотя, если Вам координаты не даны, тогда видимо подразумевается нахождение коэффициентов в разложении `vec(x) = x_1*vec(a) + x_2*vec(b) + x_3*vec(c)` через `alpha, beta, gamma`...
Такая СЛУ будет иметь в качестве матрицы коэффициентов матрицу Грама, построенную по векторам `vec(a), vec(b), vec(c)`...

[keyson]

Извините)
А систему то есть просто составить и решить как с тремя неизвестными?

[keyson]

А как здесь можно пойти через векторное произведение? Просто в ответе оно содержится

[All_ex]

А систему то есть просто составить и решить как с тремя неизвестными? - Если Вам даны координаты векторов `vec(a), vec(b), vec(c)`, то да ...

А если не даны... то смотрите комментарий от 2012-10-07 в 22:52 мск

[All_ex]

Так Вам даны координаты или нет?...

[keyson]

Нет не даны

[keyson]

Нет не даны

[All_ex]

Ну, тогда хоть ответ покажите... я Вам предложил один вариант ответа... не нравиться... Будем подгонять под Ваш....

[keyson]

Нет, не то чтобы он мне не нравился, просто сейчас проходим векторное произведение, а определитель матрица Грама я пока не знаю(
Х=(альфа[b,c]+бета[c,a]+гамма[a,b])/(a,b,c)
Извините что опять так пишу, но интернет есть пока только на телефоне

[All_ex]

а определитель матрица Грама я пока не знаю( - Видимо уже не знаете... это проходят в теме скалярное произведение, то есть раньше было... (хотя у Вас про это могли просто не рассказывать)...

Ответ у Вас красивый... но пока не соображу как его получить... (можно конечно угадать и проверить, что угадали правильно.... ... но это не конструктивно...)

[All_ex]

Ну, какой-то громоздкий путь приходит на ум...

Каждое скалярное произведение умножим на векторное произведение двух других векторов... складываем, при этом слева получим числитель ответа... В левой части приводим подобные при координатах вектора `vec(x)`...
Остаётся показать, что при координате `x_k` будет стоять `k`-ый базисный орт, умноженный на смешанное произведение...
Как это доказать, кроме того, что записать координаты всех векторных произведений и вычислить соответствующую сумму с ходу не видно... но наверное можно...

[All_ex]

Остаётся показать, что при координате `x_k` будет стоять `k`-ый базисный орт, умноженный на смешанное произведение..
О! придумал... А доказывается это легко, если скалярно умножить на соответствующий любой из векторов `vec(a)`, `vec(b)` или `vec(c)` (в предположении, что его координата не равна нулю)...

[Гость]

То есть эти равенства умножать на вектор какой нибудь из этих трех?

[All_ex]

Гость, согласен... словами написать это не легко... посему жду от keyson выписывания выкладок...

[keyson]

Это я писала))) просто умножать ли же нет?

[All_ex]

Ну, простите... не признал Вас в гриме...

Давайте по порядку...
Каждое равенство со скалярным произведением умножим на векторное произведение двух других векторов... складываем полученные равенства, при этом слева получим числитель ответа...
Набирайте формулы...

[keyson]

А как можно упростить векторное произведение на скалярное?

[All_ex]

А как можно упростить векторное произведение на скалярное? - В каком смысле?... заменить - нельзя... пишите как есть...

[keyson]

А можно так сделать что векторное втиснуть в скалярное а потом вынести из общего скалярного вынести х?

[All_ex]

Внести нельзя... это ведь не число... Вынести вектор `vec(x)` соответственно тоже нет...

[keyson]

А какие тогда сделать преобразования с таким выражением [в,с](а,х)?

[All_ex]

Расписать скалярное произведение при помощи координат...

[keyson]

То есть и векторное и скалярное произведение раскрыть?

[All_ex]

только скалярное...

[keyson]

Я разложила и теперь переумножать его с векторным?

[All_ex]

Теперь сложите эти три равенства... и приведите слева подобные слагаемые при одинаковых координатах вектора `vec(x)` ...

[All_ex]

И неплохо было бы увидеть, что Вы там написали... а то я не экстрасенс и не телепат... читать мысли и записи на расстоянии не умею...

[keyson]

[b,c](a(х)*х(х)+а(у)*х(у)+а(z)*x(z)) извините что с таким написанием, пишу через телефон) и так все три члена