Помогите найти предел

[keyson]

Помогите найти подход к нахождению предела данной последовательности
`lim_(n -> oo) ((1+x)*(1+x^2)*...*(1+x^(2^n)))`. Притом что `|x| < 1`

@темы: Пределы

Comments

[vyv2]

Разделите и умножьте на (1-х)

[keyson]

То есть каждую скобку умножать и делить только с минусом?

[keyson]

Ну я свернула в разность квадратов, а затем выносить х из скобки, или нет ?

[keyson]

Один раз

[keyson]

Ну что свернула и скобка получилась как вторая скобка последовательности

[~ghost]

как вторая скобка последовательности

а наберите, пожалуйста, как получилось?

[keyson]

Ну (((1+(x^2))^2)*(1+(x^4))... И делить это все на (х-1)

[~ghost]

но там же разность квадратов..=)
`(1-x)*(1+x)= 1-x^2`, потом `(1-x^2)*(1+x^2) = 1-x^4`, и т д...

[keyson]

Да там все так можно разложить, но я уже запуталась(

[keyson]

Ой там получилось, так? (1-(x^(2^(n+1))))/(1-x)

[~ghost]

Вот это vyv2 сразу и говорил =))

все так можно разложить

— т.е. в числителе:
`(1-x)*(1+x)*(1+x^2)*(1+x^4)*(1+x^8)*....*(1+x^(2^n)) = (1-x^2)*(1+x^2)*(1+x^4)*(1+x^8)*....*(1+x^(2^n))= `
` = (1-x^4)*(1+x^4)*(1+x^8)*...*(1 + x^(2^n)) = (1-x^8)*(1+x^8)*....*(1+x^(2^n))=....`
пока не получим `.... = (1-x^(2^n))*(1+x^(2^n)) = 1- (x^(2^n))^2 = 1 - x^(2*2^n) = 1- x^(2n+1)`
т.е. `lim_{n->infty} ((1-x^(2n+1))/(1-x))`, и если `|x| < 1`, то к чему стремится `x^(2n+1)`? (если `n-> infty` )

[keyson]

К нулю

[~ghost]

Ну да)) пока печатала комментарий - я не видела, что вы и сами уже все сделали..=)
т.е. ответ ?)

[keyson]

И тогда предел 1/(1-х)?

[~ghost]

Да))

[keyson]

Спасибо, я просто в начале знаки на минус поменяла(. Спасибо огромное!

[~ghost]

Это спасибо vyv2 ))
А вы тоже знали, как решать - "подсознательно" "будут" там минусы.. - вы их сразу все и написали..=)