Математический анализ, верхняя и нижняя грани.

[Sunline1990]

Здравствуйте. Есть задание:

X = {n/(2*n+3)} , n∈N
Найти sup X, inf X, max X, min X.

Решал так:
n/(2*n+3)<=1( так как числитель меньше знаменателя, то дробь будет меньше единицы)
Разложил в другом варианте дробь:
n/(2*n+3)=1/2 - 3/(4*n+6)
В графическом варианте, 1/2 - горизонтальная ассимптота, -3/2 - вертикальная. max X и min X не существует, а sup X= -3/2, inf X = 1/2 ? Если не правильно, объясните, пожалуйста, как решить.

@темы: Математический анализ

Comments

[Дилетант]

Sunline1990, у вас есть множество `NN` и на нем задана последовательность.
`1/5, 2/7, 3/9, 4/11, ...`
Можете дать определения

sup X, inf X, max X, min X.

[Sunline1990]

Да. Наименьшее из всех конечных или бесконечных чисел, которые ограничивают множество X⊂R, называется верхняя грань. Наибольшее из всех конечных или бесконечных чисел, которые ограничивают множество X⊂R снизу, называется нижняя грань.Я так понял, что sup X(верхняя) = max X, а inf X(нижняя) = min X

[Дилетант]

Я так понял, что sup X(верхняя) = max X, а inf X(нижняя) = min X

Если точная нижняя грань достигается на некотором элементе множества, то да. И если точная верхняя грань достигается на конкретном элементе, то тоже да. Но так бывает не всегда.
Я выписала первые несколько членов вашей последовательности.
1. Можете продолжить ее дальше?
2. Что он ней можно сказать: монотонна она или немонотонна, возрастает она или убывает?

[Sunline1990]

1.да.
n=5, X = 5/13
n=6, X = 6/15
n=7, X = 7/17
2. возрастает, монотонна

[Дилетант]

Отлично. Значит грани нужно искать на левом и правом концах.
Причем, если последовательность возрастает, то на левом конце нижняя грань, на правом верхняя.
Чему они равны?

[Sunline1990]

Тоесть, наименьшее = 1/5, это врхняя грань(по определению, я так понял), а насчет нижней, то максимального значения не будет, оно будет стремится к 1/2, т.е inf X = 0?

[Дилетант]

Как же наименьшее значение может быть верхней гранью?

Давайте сначала с гранями определимся.
Вот здесь:

Наименьшее из всех конечных или бесконечных чисел, которые ограничивают множество X⊂R, называется верхняя грань.

У вас одно слово пропущено:

Наименьшее из всех конечных или бесконечных чисел, которые ограничивают множество X⊂R сверху, называется верхняя грань.

Т.е. это "потолок", выше которого ничего нет.
А нижняя грань — это пол, ниже которого ничего нет.
Так чем тогда будет 1/5? И чем 1/2?

[Sunline1990]

Наименьшее значение - нижняя грань, inf X = 1/5, наибольшего нет, sup X = 1/2 ? Верно?

[Дилетант]

Верно.
Подведя итоги, имеем: inf X = 1/5, min X =1/5, sup X = 1/2, max X не существует.

[Sunline1990]

Спасибо Вам большое, разобрался.

[Дилетант]

Еще вдогонку.

n=5, X = 5/13
n=6, X = 6/15
n=7, X = 7/17

Х — это обозначение множества.
Элементы нужно обозначать x₅, x₆, ...

И второе.

возрастает, монотонна

Это нужно доказать.
Найдите разность между x_n, x_n+1 и убедитесь, что она нужного знака.