Проверьте, пожалуйста

[Aslador]

/* На сфере, заданной уравнением x^2 + y^2 + z^2 = 1 найдите точку, сумма квадратов расстояний от которой до точек М1 (0,0,0) , М2 (1, 1, 1), М3 (2, 2, 2) будет минимальной. Использовать метод нахождения условного экстремума. */

Прошу проверить полное решение, ибо страшно:

решение

0) Ищем точку, сумма расстояний от которой до точек М(0,0,0), M(1,1,1) и M(2,2,2) будет минимальным. И это сфера с уравнением x^2+y^2+z^2=1;

1) `f(x,y,z) = (sqrt(x^2 + y^2 + z^2))^2 + (sqrt((x-1)^2 + (y-1)^2 + (z-1)^2))^2 + (sqrt((x-2)^2 + (y-2)^2 + (z-2)^2))^2`
2) Раскрываем все скобки и упрощаем, при помощи условия связи `x^2 + y^2 + z^2 = 1`. Получаем:
`f(x,y,z) = 18 - 6x - 6y - 6z`
3) Рассмотрим функцию Лагранджа:

`f(x,y,z,lambda) = 18 - 6x - 6y - 6z + lambda*(x^2 + y^2 + z^2 - 1)`

При `lambda = 0` решений нет.
4) Ищем точки, подозрительные на экстремум:

`{((deltaf)/(deltax) = 6 - lambda*2x),((deltaf)/(deltay) = 6 - lambda*2y),((deltaf)/(deltaz) = 6 - lambda*2z),((deltaf)/(delta lambda) = x^2 + y^2 + z^2 - 1):}`

Путём нехитрых вычислений, выражаем из первых трёх уравнений :

(1) `x = 3/lambda`

Не трудно установить, что `x = y = z`


Подставив всё в уравнение (4) вычисляем. Получаем:

a) `(9/lambda^2)*3 - 1 = 0`


b) `lambda^2 = 27`

`lambda_1 = 3sqrt(3)`

`lambda_2 = -3sqrt(3)`

Подставляем их в `x,y,z` и получаем две точки, подозрительные на экстремум:

`A(1/sqrt(6),1/sqrt(6) ,1/sqrt(6)) (lambda = 3sqrt(3))` и `B(-1/sqrt(6),-1/sqrt(6) ,-1/sqrt(6)) (lambda = -3sqrt(3))`

Вычисляем вторые дифференциалы по всем переменным для точки А (для точки В будет аналогично, но со знаком минус):
`{((delta^2f)/(delta^2x) = 3sqrt(3)),((delta^2f)/(delta^2y)) = 3sqrt(3)),((delta^2f)/(delta^2z)) = 3sqrt(3)):}`

// Все частные производные по двум переменным будут равны нулю.

Получаем две квадратичные формы. Рассмотрим А:

`R = ((3sqrt(3),0,0),(0,3sqrt(3),0),(0,0,3sqrt(3)))`

Рассмотрим угловые миноры и заметим, что все они больше нуля, следовательно, т. А - точка минимума (искомая).

Рассмотрев аналогично точку В, увидим, что первый минор там меньше нуля, второй больше, а третий вновь меньше, что указывает на максимум.

Ответ: `A(1/sqrt(6),1/sqrt(6),1/sqrt(6)) (lambda = 3sqrt(3))`



ДУБЛЬ eek.diary.ru/p180754669.htm

@музыка: Bohren & Der Club Of Gore – On Demon Wings

@темы: Задачи на экстремум, Математический анализ

Comments

[~ghost]

Aslador, извините, что Вам долго не отвечали - видно не было никого.. Решение - по-моему, все верно (только арифметика немного не та, кажется, но она не повлияла - посмотрите в том топике)
этот топик, кажется, и не нужен.. (пока его не убирайте - если подойдет еще кто-нибудь, и скажет убрать "дубль" - тогда..)

[Aslador]

Благодарю за отзыв

[Epygraph]

Можно не использовать вторые производные, а воспользоваться непрерывностью минимизируемой функции и компактностью сферы. В таких случаях всегда достигается минимум и максимум функции, а поскольку "подозрительных" точек всего две, то это и есть экстремальные точки. Достаточно просто сравнить значения функции в этих точках и выбрать меньшее.