[mad-math]

Согласно признаку Дирихле ряд `sum_(k=1)^(oo) (-1)^n/n` сходится, поскольку последовательность частичных сумм ряда `sum_(k=1)^(oo) (-1)^n` ограничена, поскольку равна либо `-1`, либо `1`, и последовательность `{1/n}` монотонно убывает к нулю.

Но ведь ряд абсолютно расходится и по признаку Лейбница условно сходится.

@темы: Математический анализ, Ряды

Comments

[All_ex]

А в чём вопрос?... Признак Дирихле не даёт условия абсолютной сходимости...

[_ТошА_]

Из условной сх-ти не вытекает абсолютная. Так что не вижу ничего удивительного

[mad-math]

Если ряд сходится, то он и абсолютно сходится (верно и обратное).

В формулировке признака Дирихле говорится не об условной сходимости, а говорится, что "...тогда ряд сходится"

All_ex, всегда приятно удивляюсь вашей оперативности.

[All_ex]

Если ряд сходится, то он и абсолютно сходится - это не верно... Ваш пример тому подтверждение...

[_ТошА_]

mad-math, Если ряд сходится абсолютно, то он сходится. И ни в какую другую сторону (ну, если не рассматривать двойные итп)

[All_ex]

All_ex, всегда приятно удивляюсь вашей оперативности. - "Мороз-воевода дозором Обходит владенья свои..." (с) Некрасов...

[mad-math]

Все понял, как осенило.

Как я понимаю это: если предел последовательности частичных сумм знакопеременного ряда существует и конечен, то данный ряд сходится. Если же ряд, составленный из модулей его членов, расходится, то говорят, что он условно сходится.

Вопрос остался только один, а зачем вообще вводят понятие условной сходимости?

[All_ex]

Вопрос остался только один, а зачем вообще вводят понятие условной сходимости? - При абсолютной сходимости можно переставлять слагаемые как угодно... а при условной только в том порядке который задан (иначе можно получить любой ответ)...

[_ТошА_]

mad-math, ну как зачем. Ряд же сходится, то есть имеет сумму. Вам же бывает интересно посчитать сумму прогрессии `1/2, -1/4, 1/8...` (не беда, что ряд тут и абсолютно сходится).
Абсолютная же сходимость выделяется отдельно, как более сильный признак, являющийся достаточным условием для некоторых полезных приложений, как перестановка знаков суммы, перестановка членов ряда, от которой сумма не меняется итп. У условно сходящихся рядов такие св-ва гарантировать невозможно. Более того, просто доказать, что даже если ряд сх-ся условно, можно так перегруппировать его члены, что сумма будет равна произвольному числу `B in RR`

[mad-math]

Спасибо большое, All_ex, _ТошА_.

Последний вопрос: получается признак Дирихле можно легко использовать как замену признаку Лейбница для знакочередующихся рядов?

[_ТошА_]

Да. Признак Лейбница из него следует. Выделяют же его отдельно, так как из док-ва прослеживается удобная оценка остатка (верная для любого знакочередующегося ряда)