IMO 2012
День первый.
1. Дан треугольник $ABC$; точка $J$ является центром вневписанной окружности, соответствующей вершине $A$. Эта вневписанная окружность касается отрезка $BC$ в точке $M$, а прямых $AB$ и $AC$ - в точках $K$ и $L$ соответственно. Прямые $LM$ и $BJ$ пересекаются в точке $F$, а прямые $KM$ и $CJ$ - в точке $G$. Пусть $S$ - точка пересечения прямых $AF$ и $BC$, а $T$ - точка пересечения прямых $AG$ и $BC$.
Докажите, что точка $M$ является серединой отрезка $ST$.
2. Дано целое число $n \ge 3$ и действительные положительные числа $a_2,a_3,\dots,a_n$, удовлетворяющие соотношению $a_2a_3 \cdots a_n=1$. Докажите, что
3. Два игрока $A$ и $B$ играют в игру Угадай-ка. Правила этой игры зависят от двух положительных целых чисел $k$ и $n$, и эти числа известны обоим игрокам.
В начале игры $A$ выбирает целые числа $x$ и $N$ такие, что $1\le x \le N$. Игрок $A$ держит число $x$ в секрете, а число $N$ честно сообщает игроку $B$. После этого игрок $B$ пытается получить информацию о числе $x$, задавая $A$ вопросы следующего типа: за один вопрос $B$ указывает по своему усмотрению множество $S$, состоящее из целых положительных чисел (возможно, это множество уже было указано в одном из предыдущих вопросов) и спрашивает игрока $A$, принадлежит ли число $x$ множеству $S$. Игрок $B$ может столько вопросов, сколько он хочет. На каждый вопрос игрока $B$ игрок$A$ должен сразу ответить да или нет, при этом ему разрешается соврать столько раз, сколько он хочет; единственное ограничение состоит в том, что из любых $k+1$ подряд идущих ответов хотя бы один ответ должен быть правдивым.
После того, как $B$ задаст столько вопросов, сколько он сочтет нужным, он должен указать множество $X$, содержащее не более чем $n$ целых положительных чисел. Если $x$ принадлежит $X$, то $B$ выиграл; иначе $B$ проиграл. Докажите, что:
1) Если $n \ge 2^k$, то $B$ может гарантировать себе выигрыш.
2) Для всякого достаточно большого $k$ найдется целое число $n \ge 1{,}99^k$, при котором $B$ не сможет гарантировать себе выигрыш.
День второй.
4. Найдите все функции $f : \mathbb Z \to \mathbb Z$ такие, что для всех $a+b+c=0$ :
5. Пусть $ABC$ - треугольник с $\angle BCA = 90 \textdegree$ и $D$ - основание высоты, опущенной из вершины $C$. Пусть $X$ - некоторая точка внутри отрезка $CD$. $K$ - точка на отрезке $AX$ такая, что $BK=BC$. Аналогично, $L$ - точка на отрезке $BX$ такая, что $AL=AC$. Пусть также $M$ - точка пересечения $AL$ и $BK$.
Докажите, что $MK=ML$.
6. Найдите все натуральные числа $n$, для которых существуют неотрицательные целые числа $a_1,a_2,\dots,a_n$ такие, что:
dxdy.ru/topic60776.html
Условия в формате pdf
www.artofproblemsolving.com
День первый.
1. Дан треугольник $ABC$; точка $J$ является центром вневписанной окружности, соответствующей вершине $A$. Эта вневписанная окружность касается отрезка $BC$ в точке $M$, а прямых $AB$ и $AC$ - в точках $K$ и $L$ соответственно. Прямые $LM$ и $BJ$ пересекаются в точке $F$, а прямые $KM$ и $CJ$ - в точке $G$. Пусть $S$ - точка пересечения прямых $AF$ и $BC$, а $T$ - точка пересечения прямых $AG$ и $BC$.
Докажите, что точка $M$ является серединой отрезка $ST$.
2. Дано целое число $n \ge 3$ и действительные положительные числа $a_2,a_3,\dots,a_n$, удовлетворяющие соотношению $a_2a_3 \cdots a_n=1$. Докажите, что
$(a_2+1)^2(a_3+1)^3\dots(a_n+1)^n>n^n.$
3. Два игрока $A$ и $B$ играют в игру Угадай-ка. Правила этой игры зависят от двух положительных целых чисел $k$ и $n$, и эти числа известны обоим игрокам.
В начале игры $A$ выбирает целые числа $x$ и $N$ такие, что $1\le x \le N$. Игрок $A$ держит число $x$ в секрете, а число $N$ честно сообщает игроку $B$. После этого игрок $B$ пытается получить информацию о числе $x$, задавая $A$ вопросы следующего типа: за один вопрос $B$ указывает по своему усмотрению множество $S$, состоящее из целых положительных чисел (возможно, это множество уже было указано в одном из предыдущих вопросов) и спрашивает игрока $A$, принадлежит ли число $x$ множеству $S$. Игрок $B$ может столько вопросов, сколько он хочет. На каждый вопрос игрока $B$ игрок$A$ должен сразу ответить да или нет, при этом ему разрешается соврать столько раз, сколько он хочет; единственное ограничение состоит в том, что из любых $k+1$ подряд идущих ответов хотя бы один ответ должен быть правдивым.
После того, как $B$ задаст столько вопросов, сколько он сочтет нужным, он должен указать множество $X$, содержащее не более чем $n$ целых положительных чисел. Если $x$ принадлежит $X$, то $B$ выиграл; иначе $B$ проиграл. Докажите, что:
1) Если $n \ge 2^k$, то $B$ может гарантировать себе выигрыш.
2) Для всякого достаточно большого $k$ найдется целое число $n \ge 1{,}99^k$, при котором $B$ не сможет гарантировать себе выигрыш.
День второй.
4. Найдите все функции $f : \mathbb Z \to \mathbb Z$ такие, что для всех $a+b+c=0$ :
$f(a)^2+f(b)^2+f(c)^2=2f(a)f(b)+2f(b)f(c)+2f(c)f(a).$
5. Пусть $ABC$ - треугольник с $\angle BCA = 90 \textdegree$ и $D$ - основание высоты, опущенной из вершины $C$. Пусть $X$ - некоторая точка внутри отрезка $CD$. $K$ - точка на отрезке $AX$ такая, что $BK=BC$. Аналогично, $L$ - точка на отрезке $BX$ такая, что $AL=AC$. Пусть также $M$ - точка пересечения $AL$ и $BK$.
Докажите, что $MK=ML$.
6. Найдите все натуральные числа $n$, для которых существуют неотрицательные целые числа $a_1,a_2,\dots,a_n$ такие, что:
$\frac 1 {2^{a_1}} + \frac 1 {2^{a_2}} + \dots + \frac 1 {2^{a_n}} = \frac 1 {3^{a_1}} + \frac 2 {3^{a_2}} + \dots + \frac n {3^{a_n}} = 1.$
dxdy.ru/topic60776.html
Условия в формате pdf
www.artofproblemsolving.com
-
-
12.07.2012 в 03:06Не знаю, стоило ли это сюда выводить, и "лучший ли" способ решения, но..
1-ая задача (геометрия) первого дня
рисунок..
1) `/_ABC = 2beta` и `/_ACB = 2gamma` (и тогда `/_A = 180 -2beta - 2gamma`),
т. к. `JB` и `JC` - биссектрисы, то `/_MBJ = /_KBJ = (180 - 2beta)/2 = 90 - beta`, и `/_MCJ = /_ LCJ = (180 - 2gamma)/2 = 90 - gamma`,
то есть углы `/_MJB = /_KJB = beta` и `/_MJC = /_LJC = gamma`;
можно еще записать, что угол `QFJ = 90 - /_ QJF = 90 - (beta + gamma)` {точка `Q` - пересечение `FL` и `GJ`},
и так же `JGP = 90 - /_PJG = 90 - (beta + gamma)` {точка `P` - пересечение `JF` и `KG`}
2) проводим окружность `omega_2` вокруг 4-уг-ка `ALJK` ( `AJ` - диаметр ); и доказываем, что точки `F` и `G` принадлежат этой окружности;
т.к. `AJ`- биссектриса угла `A`, то `/_ JAK =/_ JAL = 90 - beta - gamma`;
?? не знаю, насколько это "доказательство": т.к. дуга `LJ = 2(90 - beta - gamma)`, и угол `LFJ` (он же угол `QFJ`) = `90 - beta - gamma`, то угол `LFJ` должен быть вписанным в окружность `omega_2` читать дальше
?? или так: пусть `F1` -точка пересечения `LM` с окр `omega_2`, тогда дуга `F_1KJ = 2*/_ JLF = 2*(90 - gamma) =180 - 2gamma`, и дуга `KJ = 2* /_JAK = 180 - 2beta - 2gamma`, а тогда дуга `F_1K = 2beta` => угол `F_1JK = beta` => точка `F_1` на прямой `BJ`, но пересечение `BJ` и `LM` - это т. `F` (т.е. `F_1` и `F` совпадают).
С точкой `G` то же самое (она тоже на окр `omega_2`)
3) Тогда углы `AFJ` и `AGJ` = 90 ( опираются на диаметр); т.е. в треугольниках `ABS` и `ACT` биссектрисы `BF` и `CG` явл одновременно высотами => треуг-ки равнобедренные: `SB = AB` и `TC = AC`;
тогда `SM = SB + BM = AB + BK = AK` и `TM = TC + CM = AC + CL = AL`, а т.к. `AK = AL`, то и `SM = TM`
-
-
12.07.2012 в 05:11-
-
13.07.2012 в 01:54$f(a)^2+f(b)^2+f(c)^2=2f(a)f(b)+2f(b)f(c)+2f(c)f(a).$
Намётки решения:
Рассматриваем случаи...
а) `a = b = c = 0 \ \ => \ \ f(0)=0`
б) `b = -a; \ \ c = 0 \ \ => \ \ f(a) = f(-a)` - чётная функция...
в) `b = c = -a/2` при этом с учётом чётности получим, что `f(a) \equiv 0` или `f(a) = 4*f(a/2)`
Проверить, что `f(a) \equiv 0` и `f(a) = a^2` удовлетворяют равенству просто...
Достаточно ли пункта в) для того, чтобы утверждать отсутствие других функций пока вопрос...
-
-
13.07.2012 в 21:396. Найдите все натуральные числа $n$, для которых существуют неотрицательные целые числа $a_1,a_2,\dots,a_n$ такие, что:
Это даже не намётки решения, а просто, что в голову пришло.
1. Примеры.
`n=2, a_1=a_2=1 => 1/2+1/2=1/3+2/3=1`
`n=6, a_1=a_2=2, a_3=a_4=a_5=a_6=3 => 2/4+4/8=(1+2)/9+(3+4+5+6)/27=1`
...
Что мы имеем из степеней двоек.
При n=2 степени 1,1
При увеличении n на единицу, любая степень "раздваивается" и эта пара увеличивается на 1.
n=3 => 2,2,1 (раздвоилась первая единица) или 1,2,2 (раздвоилась вторая). Ну и после этого еще перестановки. 2,1,2...
С точностью до перестановки имеем:
n=4
1,2,3,3
2,2,2,2
n=5
1,3,3,3,3
1,2,3,4,4
2,2,2,3,3
n=6
1,3,3,3,4,4
1,2,3,4,5,5
1,2,4,4,4,4
2,2,3,3,3,3
2,2,2,3,4,4
...
Отсюда (из принципа построения) можно заметить, что старших степеней всегда четное количество.
Единицы для n>2 не больше одной, двоек при n>4 — не больше трех...
1) `a_i=1 <=> i=1,2`
`a_i=2 <=> i<9`
...
Т.е. годятся не все перестановки степеней. Интересно, можно ли доказать, что там есть частичный порядок по степеням...
Дальше пока не знаю.
А может, я и сразу не туда...
-
-
14.07.2012 в 11:37Teodor von Burg from Serbia will have another gold medal this year.
He will become the greatest contestant in IMO history, with 1 bronze, 1 silver and 4 gold medals!
What an incredible achievement!!
Congratulations to him and his country!
-
-
14.07.2012 в 11:47-
-
14.07.2012 в 11:57-
-
14.07.2012 в 16:01