Вторая волна ЕГЭ 10 июля 2012 г.

[mpl]

Вторая волна ЕГЭ 10 июля 2012 г.

С1.1
а) Решите уравнение `4cos^2x+4cos(pi/2+x)-1=0`
б) Найдите все корни уравнения, принадлежащие отрезку `[pi;(5pi)/2]`

С2.1
На ребре `text{CC}_1` куба `ABCDA_1B_1C_1D_1` отмечена точка `E` так, что `CE:EC_1=2:1`. Найдите угол между прямыми `BE` и `AC_1`

C3.1
Решите систему неравенств
`{(9^x-28<=3^(x+3)),(log_(x+7)((3-x)/(x+1))^2<=1-log_(x+7)((x+1)/(x-3))):}`

С4.1
Продолжение биссектриссы `CD` неравнобедренного треугольника `ABC` пересекает окружность, описанную около этого треугольника, в точке `E`. Окружность, описанная около треугльника `ADE`, пересекает прямую `AC` в точке `F`, отличной от `A`. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника `ABC`, если `AC=6, AF=3`, угол `BAC` равен `45^@`.

С5.1
Найдите все значения `a`, при каждом из которых уравнение `sqrt(1-2x)=a-5|x|` имеет более двух корней.

С6.1
Число `S` таково, что для любого представления `S` в виде суммы положительных слагаемых, каждое из которых не превосходит 1, эти слагаемые можно разделить на две группы так, что каждое слагаемое попадет только в одну группу и сумма слагаемых в каждой группе не превосходит 20.
а) Может ли число `S` быть равным 40?
б) Может ли число `S` быть больше `39 1/21`?
в) Найдите максимально возможное значение `S`.

Еще вариант (Восток?). Вариант записан по памяти после экзамена.

С1.2 Решите уравнение а) `2cos2x-8sinx+3=0`;
б) найдите корни уравнения, попадающие на промежуток `[(3pi)/2;3pi]`.

С2.2 Дан прямоугольный параллелепипед `ABCDA_1B_1C_1D_1`, длины ребер которого `AB=2`, `AD=A A_1=1`. Найдите угол между `CD_1B_1` и `CDA_1`.

С3.2 Решите систему неравенств `{(4^x-2^(x+8) <= 257),(log_(x+7) ((x^2-x-56)/x)^2+log_(x+7) (x-8)/x <= 5):}`.

С4 Не запомнил.
С5.2 При каких значениях параметра a (a>0) уравнение `|1-6sqrt(x)|=2(x+a)` имеет ровно два корня.

С6.2 Учитель в школе ставит отметки от 1 до 5. Средний балл ученика равен 4,625.
а) какое наименьшее количество оценок может иметь ученик?
б) если у ученика заменить оценки 3, 3, 5, 5 на две четверки, то насколько максимально может увеличиться средний балл?

Дополнение (вариант от 16.07.2012, по материалам сайта alexlarin.com)

C2 Дан куб `ABCDA_1B_1C_1D_1`, точка `E` лежит на стороне `C C_1` и делит ее пополам. Найти угол между прямыми `BE` и `B_1D` .
C3 Решите систему неравенств `{((8^(-x)-5*(0.5)^x)/(2^(-x)-2^(x+4)) >= 0),(log_(x^2) (1/x+2/x^2 ) <= 0):}`.
C4 В треугольнике угол `/_C` равен `60^@` . На сторонах `AB` и `AC` как на диаметрах построены окружности. Они пересекаются кроме точки `A` в точке `D`. Известно, что `DB : DC=1:3`. Найдите угол `/_A` в этом треугольнике.
С5 Найти те значения параметра `a`, при которых уравнение `x^4+(a-3)^2=|x-a+3|+|x+a-3|` имеет не более одного решения.
С6 Между числами `1^2`, `2^2`, `3^2`,...,`(N-1)^2`, `N^2` расставляют знаки сложения или вычитания. Возможно ли получить такую сумму:
a) `S=12` при `N=12`;
b) `S=0` при `N=50`;
c) `S=0` при `N=80`;
d) `S=5` при `N=90`?

@темы: ЕГЭ

Comments

[к.черный]

Сверим ответы?
С1. а) `(-1)^npi/6+pin, n in Z`
б) `(13pi)/6`

C2. `text{arccos}(5/(sqrt39))`

C3. `(-7; -6)uu[-5; -2]uu(3; log_3 28]`

[sosna24k]

С-1 , ответ такой же. Остальное пока не решала. А надо оформлять?

[Гость]

А надо оформлять?

В подобных топиках это не возбраняется.

[sosna24k]

С-2 простая: прямую BE перенести, получить треугольник , в котором можно найти все стороны, дальше теорема косинусов. Может лучше рисунок сделать?

[к.черный]

Может лучше рисунок сделать?

если оформлять, то, конечно, лучше с рисунком

[mirazh_23]

С1 и С3 ответы совпадают... С2 не решал..

[~ghost]

В С4 увидела 1 случай - и пока больше и не получается..
(или он и есть один, или чего-то не вижу..) UPD да, похоже, только один случай

рисунок

1) угол `ABE` = углу `BAE = phi`, и треуг-к `ABE` равнобедренный (`AE = BE`);
2) угол `BEC =45` и угол `CBE = 135 - phi`;
3) угол `ADE = 45 + phi` (внешн угол треуг-ка `ACD`), и тогда угол `F = 180 - /_ADE = 135 - phi`
и еще угол `FAE = 135 - phi`; т.е. треуг-к `FAE` равнобедренный: `FE = AE` (точнее `FE = AE = BE`)
4) треуг-к `CFE` = треугольнику `CBE` ( сторона и 2 угла ), а тогда `CB = CF =9`
5) радиус окружности, описанной вокруг `ABC`:
`R= (CB)/(2sin(45))` => `R = 9*sqrt(2)/2`

[mirazh_23]

Решение С 3:

1-е неравенство:

`3^x=t`, `t>0` => `t^2-27t-28 <=0` => `0 < t <=28` => `3^x <=28` => `x <=log_3 28`

`(1)` : `x in (-oo;log_3 28]`

2-е неравенство:

ОДЗ: `(x-3)/(x+1)>0`, `x+7>0`, `x+7!=1` => `x in (-7;-6) U (-6;-1) U (3;+oo)`

Запишем неравенство в виде:

`2*log_(x+7) |(3-x)/(x+1)|-log_(x+7) ((x-3)/(x+1)) <=1`

=> раскроем модуль с учетом ОДЗ и получим:

`log_(x+7) (x-3)/(x+1) <=1`

1) `x+7 <1` => `x in (-7;-6)`

`(x-3)/(x+1)>=x+7` => `((x+2)(x+5))/(x+1) <=0` => `x in (-7;-6)`

2) `x+7>1` => `((x+2)(x+5))/(x+1)>=0` => `x in [-5;-2] U (3;+oo)` с учетом ОДЗ

=>

`(2)`: `x in (-7;-6) U [-5;-2] U (3;+oo)`

Для всей системы:

Так как `log_3 28 > log_3 27` => `log_3 28 >3`

=>

ответ:

`x in (-7;-6) U [-5;-2] U (3;log_3 28]`

[Гость]

В С4 увидела 1 случай - и пока больше и не получается..

Точка F - середина AC

[~ghost]

Гость я пыталась так нарисовать - цифры не сошлись..
сейчас еще раз проверю..

[к.черный]

В С4 увидела 1 случай

ага, у меня тоже только так получается ((

[Гость]

я пыталась так нарисовать - цифры не сошлись..

Да, это что-то невозможное.

[~ghost]

так.. если угол `C` - острый, "настолько" чтобы окружность описанная вокруг `ADE` пересекалась бы не с продолжением `AC`, а с самим отрезком `AC` ( в середине этого отрезка), то в решении можно повторить почти все то же самое, и те же 2 равных треугольника, и `CB = CF`, но тогда `CB = CF = 6-3 =3`, и радиус `R = 1.5*sqrt(2)~~2.12`, или диаметр `2R ~~4.24` — сторона =6 не помещается..

UPD выглядеть должно было бы как-то так:

просто при данных цифрах - не получается..

[Гость]

Это, наверное, и есть самый настоящий ким-подделка от Ященко )

[stevenRush]

Писал сегодня ЕГЭ. Если выложу задания по памяти без номера КИМа, то не вычислят?

[~ghost]

C5 найти все `a`, при которых ур-ие `sqrt(1-2x) = a - 5*|x|` имеет более двух решений
графически - наверное, не лучшее решение, но все-таки..

рисунок ( получился огромный - и все равно не очень видно..)

ветка параболы `y = sqrt(1 -2x)` и график `Y= a -5*|X|` имеют "больше двух" общих точек ( т.е. 3 общ. точки ) при `a in [a_1; a_2)`,
где: 1) `a_1` соотв-т графику, проходящему через вершину параболы `A(0.5; 0)`
( т.е. `Y=a_1 - 5X` должна проходить через `(0.5;0)` => `0 = a_1 - 5*0.5` => `a_1 = 2.5` );
и 2) `a_2` соотв. случаю касания: т.е. `Y=a_2 - 5X` должна быть касательной к графику `y=sqrt(1 -2x)`;
ур-ие касательной (к графику ф-ии `y(x)` в точке `(x_0; y_0)` ): `Y = y ' (x_0)*X + y_0 - y ' (x_0)*x_0`;
{т.е. углов. коэфф-т `y ' (x_0) = - 5` и свободный член `a_2 = y_0 - y ' (x_0)*x_0` };
т.к `y ' = (-1)/sqrt(1-2x)`, то: `(-1)/sqrt(1-2*x_0) = - 5` => `x_0 = 12/25` (абсцисса точки касания),
и тогда `y_0 = sqrt(1-24/25) = 1/5`; т.е. `a_2 = y_0 - y '(x_0)*x_0 = 13/5 = 2.6`
И решений "больше двух" при всех `a in [2.5; 2.6)`

[sosna24k]

C-2 На ребре CC1 куба ABCDA1B1C1D1 отмечена точка E так, что CE:EC1=2:1. Найдите угол между прямыми BE и AC1

[VEk]

~ghost, там (С4) действительно, похоже ошибка в цифири. Возможно, это только в одном варианте, в том, который стал доступен в сети. Например, если AC= 6, AF =1, все проходит. Сочувствую тому, кто писал такой вариант.

С5 предпочитаю находить a(x) и исследовать функцию. Тогда все получается просто и без выкрутасов.

[sosna24k]

Решение задачи С-1

[Гость]

Сочувствую тому, кто писал такой вариант.

Вы принимали участие в обсуждении родственной задачи какого-то МГУшного соревнования. В условии были только буквы. Кто-то решил, что их можно безболезненно заменить числами

[Гость]

sosna24k, спасибо

[Гость]

C-2 На ребре CC1 куба ABCDA1B1C1D1 отмечена точка E так, что CE:EC1=2:1. Найдите угол между прямыми BE и AC1

В картинке-решении указано, что это задача С-4

[sosna24k]

Мой способ решения С-3

[sosna24k]

"C-2 На ребре CC1 куба ABCDA1B1C1D1 отмечена точка E так, что CE:EC1=2:1. Найдите угол между прямыми BE и AC1
В картинке-решении указано, что это задача С-4"

Да, увидела, но теперь не исправить. Пусть уж так будет.

[Гость]

sosna24k,

в Вашем решении что обозначено за `f(x)` ? В этом выражении стоят знаки равенства и неравенства. ТАК делать нельзя... Вы - школьный учитель?

Если хотите работать с функцией, то ее надо было построить, перенеся все члены неравенства в одну часть.

[Гость]

но теперь не исправить.

Преимущество текстового набора заключается и в легкости внесения правок.
Скрипт понимает и TeX-подобную форму записи выражений.
$x=\frac{x+1}{x+2}$

$x=\frac{x+1}{x+2}$

[mpl]

в Вашем решении что обозначено за f(x) ? В этом выражении стоят знаки равенства и неравенства. ТАК делать нельзя... Вы - школьный учитель?

Если хотите работать с функцией, то ее надо было построить, перенеся все члены неравенства в одну часть.

Гость, постарайтесь более ясно и сдержанно выражать свои мысли. Совершенно неясно, к чему имеет отношение Ваш комментарий.

[mpl]

Гость, могу еще добавить, что мне будет проще, без дополнительных объявлений, запретить всем известным мне Вашим логинам комментирование в сообществе, чем лишний раз повторять, что у меня нет времени и желания объяснять взрослому человеку правила поведения в сообществе.

[vyv2]

~ghost

C5.1 Мне кажется лучше рассмотреть функцию `f(x)=sqrt(1-2x)+5|x|`, которая на `(-oo,0]` убывает до 1, на `[0,0.48]` - возрастает до 2.6, на `[0.48,0.5]` - убывает до 2.5.

[sosna24k]

Гость: "В Вашем решении что обозначено за f(x) ? В этом выражении стоят знаки равенства и неравенства. ТАК делать нельзя... Вы - школьный учитель?
Если хотите работать с функцией, то ее надо было построить, перенеся все члены неравенства в одну часть."
Гость, спасибо, я исправила у себя. Не увидела просто при копировании.
Да, я работаю школьным учителем.
Мое решение С-5.