Пятизначное число

[4OBAEFKM]

Уважаемое сообщество , проверьте пожалуйста решение следующей задачи:
Существует ли такое пятизначное число, которое при возведении в произвольную натуральную степень будет оканчиваться на те же пять цифр, что и исходное число, притом в том же порядке?
У меня получилось , что нет. Решал так :
Пусть такое число x существует , тогда x^n=y00000+x
y00000=x*(x^(n-1)-1)=x*(z00000+x-1)
x не кратно 100000 поэтому (z00000+x-1) кратно 100000 , но z00000 кратно 100000 и x-1 не кратно , поэтому x*(z00000+x-1) не кратно 100000. Противоречие.

@темы: Головоломки и занимательные задачи

Comments

[Гость]

90625^2=8212890625

[4OBAEFKM]

большое спасибо .

[4OBAEFKM]

все , нашел это число . Перепутал сложение с умножением .
Еще раз огромное спасибо.

[kostyaknop]

Такое число существует для каждой значности. Причем чаще всего бывает два таких числа, исключения (когда оно одно) - только когда оно с 9 начинается

[Гость]

Гость, пытаюсь найти решение задачи и не могу.
существует ли такое пятизначное число, которое при возведении в произвольную натуральную степень будет оканчиваться на те же пять цифр, что и исходное число, притом в том же порядке? Видел Ваше замечание. А можно это доказать, подтвердить или изложить путь решения. Мой е-иейл [email protected]. Заранее благодарен.

[kostyaknop]

Так выше же есть ответ - 90625

[viktor_kovalev]

kostyaknop, Ответ я тоже нашел - с помощью программы.
Но я хочу найти обычное доказательство для любого n!

[viktor_kovalev]

Гость, Спасибо за скорую реакцию!
Двигался по интуиции для 1 однозначного -5 и 6,
для двухзначного (5 и 6 уже есть) - 25, 76
для трехзначного и четырехзначного (25 и 76 уже есть) 625 и 376,
для 5-ти - 90625, для 6-ти 890625. Но как это доказать, не пойму.

[viktor_kovalev]

4OBAEFKM, А есть ли доказательство для любого n и для любого x?

[4OBAEFKM]

Доказательство , просто по индукции, пусть есть n-1 значное число и оно имеет вид 10^(n-1)*a+...+5= t. Будем искать n значное в виде 10^(n)*x+t, возведем последнее выражение в квадрат и соберем те слагаемые которые не имеют более чем n нулей, слагаемое которое будет отвечать за последнюю цифру x , будет 2*10^n*x*5+ что то, легко видеть из этого , в качестве x надо просто взять последнюю цифру выражения что то