помогите пожалуйста решить

[nomad87]

Здравствуйте я не проходила несобственные интегралы нам их не давали помогите пожалуйста решить
вычислить несобственный интеграл или доказать расходимость
`int_0^4 dx/root(3)((x-2)^2)`
`int_e^infty dx/(xln^2x)`

@темы: Интегралы, Несобственные интегралы

Comments

[VEk]

Выделяйте особенность. Оба интеграла сходятся. Проблемы взять их не вижу (почти табличные).
1) Это точка 2. Считаете интеграл от 0 до `2-eps1` и от `2+eps2` до 4, а затем находите пределы при `eps1,eps2 -> +0`.
2) Особенность на бесконечности. Вычисляете интеграл от `e` до `R` и находите предел при `R -> +oo`

[nomad87]

а как особенность выделить?я вообще с несобственными не бум бум(((

[VEk]

Особенностью является либо точка, в которой функция не определена (в частности, не ограничена в окрестности точки), либо бесконечность.
В первом комментарии уже указал особенности в каждом интеграле.

Но особенно полезно было бы залезть в учебник, и все-таки хоть немного его почитать.

[nomad87]

да уже читала и не раз((((

[All_ex]

nomad87, Давайте начнём с о второго интеграла... он попроще...
Сперва перепишите из учебника в комментарий определение несобственного интеграла первого рода по отрезку `[e;+oo)`...

[nomad87]

несобственными интегралами называются 1) интегралы с бесконечными пределами 2) интегралы от неограниченных функций

[All_ex]

nomad87, извините, отлучился...
Я имел ввиду не словесное описание, а формульное определение... то есть - `int_{e}^{+oo} f(x) dx = ...`

[nomad87]

я не нашла такой формулы в лекциях которые мне дали ((

[All_ex]

`int_{e}^{+oo} f(x) dx = lim_{b -> +oo} int_{e}^{b} f(x) dx`
Подставте сюда Вашу вторую функцию и вычислите сначала интеграл, а потом перейдите к пределу...

[nomad87]

интеграл получится `(dx*x^2)/(2xln^2)`

[All_ex]

`int_{e}^{b} (dx*x^2)/(2xln^2)` - не забывайте писать значок интеграла... и то, что интеграл определённый...

[nomad87]

хорошо

[nomad87]

`lim_(b->+infty) int_e^b (dx*x^2)/(2xln^2)=infty` правильно?

[All_ex]

Извините я ту без скрипта сижу и не обратил внимание, что Вы переписали не ту функцию... должно быть так...

`lim_(x->+infty) int_e^b dx/(xln^2x)`

Предел пока не пишите... для начала вычислите первообразную... затем подставьте в формулу Ньютона-Лейбница... а уже потом будете предел вычислять...
Так что давайте попорядку...

[nomad87]

первообразную т.е. найти производную `dx/(xln^2x)` ?

[All_ex]

первообразную т.е. найти производную - это неопределённый интеграл...

[nomad87]

первообразная будет `-1/lnx+c`

[All_ex]

Да... теперь подставляйте в формулу НЬютона-Лейбница
`int_e^b dx/(xln^2x) = (-1/lnx )|_{e}^{b} = ...`

[nomad87]

`int_e^b dx/(xln^2x)=(-1/lnx)|_{e}^{b}=(-1/lnb)+1/lne`

[All_ex]

Упростите второе слагаемое `ln(e) = ...?`
А теперь вычисляйте предел...

[nomad87]

`lim_(b->infty) (-1/lnb)+1=1`

[All_ex]

Ну, вот и всех делов...

Теперь про первое задание... схема таже, только особенностью является не бесконечный отрезок, а неограниченность функции... Её вырезают из отрезка интегрирования и опять же переходят к пределу (только здесь они односторонние)...

Особенность Вашей функции - это нуль знаменателя `x = 2` ...

`int_0^4 dx/root(3)((x-2)^2) = lim_(с -> 2 - 0) int_{0}^{c} dx/root(3)((x-2)^2) + lim_(d -> 2 + 0) int_{d}^{4} dx/root(3)((x-2)^2) = ...`

Приступайте...

[nomad87]

полная запись второго примера будет выглядеть как запись

2012-05-08 в 10:42
nomad87

с продолжением

2012-05-08 в 10:51
nomad87

?

[All_ex]

`int_{e}^{+oo} dx/(xln^2x) = lim_(b->+infty) int_{e}^{b} dx/(xln^2x) = lim_(b->+infty) int_{e}^{b} dx/(xln^2x) = lim_(b->+infty) (-1/lnx)|_{e}^{b} = lim_(b->+infty) (-1/lnb +1) = 1`

[All_ex]

Плюс к этому расписанное вычисление первообразной ...

[nomad87]

понятно спасибо сейчас с первым попробую разобраться

[nomad87]

мне сейчас надо по пунктам
1) вычислить интеграл
2) вычислить первообразную
3) потом по формуле ньютона-Лейбница
4) и предел

[All_ex]

1) и 2) - это одно и тоже...