определенный интеграл

[Snka]

проверьте, пожалуйста:
найти определенный интеграл `\int_{0}^{pi/6}tg^(2)3xdx`
решение
`\int_{0}^{pi/6}tg^(2)3xdx`= `\int_{0}^{pi/6}(sin^(2)3xdx)/(cos^(2)3x)`=`\int_{0}^{pi/6}(1-cos^(2)3xdx)/(cos^(2)3x)`
=`\int_{0}^{pi/6}((1/(cos^(2)3x))-1)dx`
=`1/3(\int_{0}^{pi/6}(d(3)x)/(cos^(2)3x))-\int_{0}^{pi/6}dx=1/3tg3x-x|_{0}^{pi/6}+c`
`1/3tg((3pi)/6))-(pi/6)-0=1/3tg(3pi)/6-pi/6=infty-pi/6=infty`

@темы: Интегралы, Несобственные интегралы

Comments

[Alidoro]

А ответ где? Интеграл расходится что ли?

[Alidoro]

Если не обращать внимания на опечатки, то что там за u dv? Вы по частям что ли собирались брать?

[Snka]

Alidoro, я стерла лишнее. Да, думала сначала по частям.
Ответ в конце. Вторая часть превращается в 0, я ее не записывала.

[Alidoro]

`mbox{tg} (3 pi)/6` равен бесконечности? Или я ошибаюсь.

[Snka]

Alidoro, вроде нет, мне казалось, что1/ корень квадратный из 3.Я ошибаюсь?

[Alidoro]

`mbox{tg}pi/3=sqrt3`

[Snka]

Alidoro, `tg(pi/6)=sqrt(3)/3` наверное, `tg(3pi/6)=sqrt(3)3/3=sqrt(3)` Я неправа?

[Alidoro]

[Гость]

`((3pi)/6)=pi/2`, `cos (pi/2) = 0`, `tg x = (sin x)/(cos x)`

[Alidoro]

А вычисления верные.

[Snka]

Alidoro, я по этой таблице смотрю (извините, скину Вам ссылку на сайт, т.к. картинки вставлять не умею)
web-tutor.narod.ru/Pages_1024x768/Trigtables.ht... Это как получается таблицы разные? Так где неправильно?

[Alidoro]

Тангенс девяноста градусов (это будет пи пополам) — звездочки. Всё правильно и там, и там.

[Snka]

Гость, Вы хотите сказать, что тангенс 3п/6 равен бесконечности?

[Snka]

Alidoro, посмотрите тангенс 30 градусов и там, и там. (где-то неправильно)
если равен бесконечности, то у меня ответ будет бесконечность? До каких пор у меня правильно решено?

[Alidoro]

`sqrt3/3=(sqrt3*sqrt3)/(3*sqrt3)=1/sqrt3` это одно и то же число.
У вас правильно решено до конца. Но интеграл равен бесконечности. Может быть в условии ошибка. А возможно и я ошибаюсь.

[Snka]

,Alidoro, на счет корня я поняла.
Я исправила конечный ответ в решенном уравнении. Посмотрите, пожалуйста, правильно ли я Вас поняла. И еще, я не сталкивалась чтобы интеграл был равен бесконечности. В условии ошибки нет. Такое может быть?

[Alidoro]

Я тоже не сталкивался с такими задачами. Обычно оговаривают типа "проверить интеграл на сходимость".
Но с нынешней системой образования всё может быть.

Бесконечность пишут oo или infty что отображается как `oo` или `infty`

[All_ex]

Всем доброго времени...
Извините за вторжение... По-моему это просто первичный пример на вычисление определённого интеграла...
Есть предложение - для вычисления первообразной воспользоваться тем, что `tg^2(a) + 1 = [tg(a)]'` ...

[Snka]

All_ex, я что-то не понимаю, что Вы имеете ввиду. Нужно взять производную из tg3x? Почему?

[All_ex]

Я предлагаю прибавить и отнять единицу к Вашем у подынтегральному выражению... после чего получить сумму двух табличных интегралов...

[Snka]

All_ex, как называется этот метод? А то я не совсем понимаю, что я должна сделать и что должно получиться. Может, я в книге посмотрю, как таким методом решать.
Бесконечности там, наверное, не должно получиться,т. к. это будет уже не определенный интеграл, а несобственный.

[All_ex]

Snka, у Вас первичный пример на вычисление определённого интеграла... Никаких несобственных интегралов и бесконечности в ответе не будет... - увы ошибся...
А я просто предлагаю способ вычисления первообразной...

[All_ex]

Это не метод... а знание тригонометрических тождеств... `tg^2(a) + 1 = 1/{cos^2(a)} = [tg(a)]'`..

[Snka]

`(\int(tg^(2)3x+1-1*dx))=dx/(cos^(2)3x)-dx=tg3x+x` ?

[Snka]

т.е. `tg3x-x` Теперь правильно?

[All_ex]

Потеряли знак интеграла... и в первом интеграле потеряли множитель, связанный с линейным аргументом функции...

[All_ex]

Вычислите производную от ответа для проверки...

[Snka]

All_ex, `int\3dx/(cos^(2)3x)-int\dx=3tg3x-x`

[Alidoro]

[Epygraph]

Можно доказать расходимость интеграла с помощью сравнительного признака сходимости несобственных интегралов неотрицательных функций.
Здесь `f(x)=\frac{\sin^2 3x}{\cos^2 3x}\sim \frac{1}{\cos^2 3x}=g(x)` при `x\to \frac{\pi}{6}`.
Интеграл `\int g(x) dx` табличный. Достаточно проверить, что он расходится.