Неравенство

[ДОБРЫЙВЕЧЕР]

`(log_(2x-3)^2 (1/(3x-5))+log_(2x-3) (9x^2-30x+25) +7)/(2*log_(2x-3) (6x^2-19x+15) -1) <= 3`

Как поступить с условием на
`2*log_(2x-3) (6x^2-19x+15) -1!=0`?

@темы: Логарифмические уравнения (неравенства)

Comments

[VEk]

Разложите оба квадратных трехчлена в неравенстве на множители, слегка упростите выражение. Тогда решать будет проще.

[TheIllusiveMan]

`2*log_(2x-3) (6x^2-19x+15) -1!=0``<=>`
`log_(2x-3) (6x^2-19x+15)!=0.5``<=>`
`sqrt(2x-3)!=6x^2-19x+15``<=>`
...

[ДОБРЫЙВЕЧЕР]

`(-log_(2x-3)^2 (3x-5)+log_(2x-3) (3x-5) +7) / (2*log_(2x-3) ((2x-3)*(3x-5)) -1) <= 3`

[VEk]

ДОБРЫЙВЕЧЕР, после замены `t=log_(2x-3) (3x-5)` получаем хорошее неравенство `(t^2+2t+7)/(2t+1) <= 3`. Что у вас за любовь к гробовидным выражениям?

[ДОБРЫЙВЕЧЕР]

Дак перед решением неравенства надо ОДЗ написать?

[VEk]

Минус за логарифм вынесли неверно. Там квадрат.
Двойку у второго слагаемого потеряли. Ну кто так делает?

[VEk]

Дак перед решением неравенства надо ОДЗ написать?

Зачем? Вы делаете замену и все ограничения, которые были ранее, переносятся на новые переменные, а именно: величина `t` существует и не равна -1.

[ДОБРЫЙВЕЧЕР]

Двойку у второго слагаемого потеряли.

девятку тоже потерял
`log_(2x-3) 9*(3x-5)^2` а после переноса двойки не нужно модуль ставить?

[VEk]

Нет, конечно, из первого логарифма в числителе надо сделать вывод о том, что `3x-5 > 0`. На основании этого после разложения квадратных трехчленов на множители можно расписать суммы логарифмов. А потом делать замену. И сразу все становится o'k.

[VEk]

9 там нет. А модуль исчезает, так как `3x-5 >0`.

[ДОБРЫЙВЕЧЕР]

9 там нет.

`9x^2-30x+25=9*(x-5/3)^2`

Минус за логарифм вынесли неверно

дак `(a)^2 = (-a)^2`

[ДОБРЫЙВЕЧЕР]

А модуль исчезает, так как `3x-5 >0`.

разве не надо проверять, с каким знаком мы раскрываем (3x-5)? ведь если икс = 1, то выражение отрицательно

[VEk]

Вы 9 внесите в скобку, получите `(3x-5)^2`
У Вас минус выносится за первый логарифм, но он в квадрате. Что получается?

[VEk]

если икс = 1, то выражение отрицательно

А первый логарифм в числителе в этом случае существует?

[ДОБРЫЙВЕЧЕР]

А первый логарифм в числителе в этом случае существует?

нет, но на данном этапе одз я не писал

[VEk]

Посмотрите мой комментарий от 20:28. Вот там приведено все, что нужно для начала решения задачи, кроме самих разложений.

[ДОБРЫЙВЕЧЕР]

Зачем? Вы делаете замену и все ограничения, которые были ранее, переносятся на новые переменные, а именно: величина `t` существует и не равна -1.

в может -1/2? ведь в этом случае знаменатель обращается в ноль. После решения неравенства на области `t` находим, что `t<-1/2`. Следовательно, `log_(2x-3) (3x-5) < -1/2`
Рассмотрим случай, когда основание меньше 1 => `5/3 < x < 2`
`3x-5-1/(sqrt(2x-3)) > 0` До сих пор правильно?

[VEk]

Конечно, -0,5. Ошибся при беглом подсчете.
Но у меня уже почти час ночи. Я спать. Остальное - утром.

[ДОБРЫЙВЕЧЕР]

окей


`log_(2x-3) (3x-5) < -1/2` - не имеет решений.
А в ответе стоит `x=7/4`. Этот ответ получается, если t=2 (решение квадратного уравнения относительно t из знаменателя). Но его я не брал,т.к он не входит мо методу интервалов. Не входит ведь?

`(t^2+2t+7)/(2t+1) - 3 <= 0` Получаем корни числителя: 2, знаменателя: -1/2. Дробь принимает отрицательные значения только на отрезке `t<-1/2`

[ДОБРЫЙВЕЧЕР]

Не входит ведь?

Входит, конечно. Но я всегда в методе интервалов брал для подстановки только числа из промежутка между корнями, а не сами корни. Выходит, что я был не прав?

[All_ex]

Извините, что врываюсь...

Но я всегда в методе интервалов брал для подстановки только числа из промежутка между корнями, а не сами корни. Выходит, что я был не прав? - Вы были правы, подставлять границы нельзя... принадлежность точек ганицы к интервалам определяется строгостью неравенства...

[VEk]

ДОБРЫЙВЕЧЕР, здесь (в числителе) нестрогое неравенство, поэтому Вы не правы. Надо смотреть точки как между границами , так и сами границы. В знаменателе - строгое, поэтому смотрим точки только внутри интервала.

Дробь принимает отрицательные значения только на отрезке Отрицательные - да, но неравенство нестрогое, поэтому его решение `t in (-oo;-0.5) uu{2}`