Диф. уравнения

[infinity235]

1. `(x+2y+1)dx-(2x+4y+3)dy=0`
Поделил на `(x+2y+1)` обе части получил:
`dx=2+(dy)/(x+2y+1)`
Дальше задание вызывает затруднение.

2. `xe^(-x)dx-xydx=dy`
`y'+xy=xe^(-x)`
Делаю замену:
`y=UV`
`y'=U'V+UV'`
`V=e^(-x^2/2)`
`U=int x*e^(x^2/2)/(e^(x))dx`
Дальше нужно взять интеграл, который тоже вызывает трудности.

Помогите, пожалуйста, может нужны другие методы решения...

@темы: Дифференциальные уравнения

Comments

[Ostrovsky]

1. Приведите уравнение к виду dy/dx=..., а потом сделайте замену z=x+2y+1 получите уравнение в разделяющих переменных
2. линейное уравнение y'+a(x)y=b(x) метод интегрирующего множителя
u(x)y'+a(x)u(x)y=u(x)b(x)
uy'+a(x)uy=(uy)' => u'=a(x)u => (uy)'=ub(x) => y=1/u *int u(x)b(x) dx

[infinity235]

1. Получил:
`(dy)/(dx)=z/(z+1)`

[All_ex]

В 1) поддерживаю замену, предложенную Ostrovsky...

В 2) всё правильно сделано... но интеграл записанный в конце не вычисляется в элементарных функциях... Возможно неправильно переписали условие....
Ostrovsky, метод интегрирующего множителя не даёт отличий в вычислении последнего интеграла при решении линейного уравнения...

[All_ex]

1. Получил:
`(dy)/(dx)=z/(z+1)` - производную тоже заменять надо...

[infinity235]

Не совсем понял как заменять.

[All_ex]

`z = x + 2y + 1 \ \ => \ \ z' = (x + 2y + 1)' = ...` и выражайте производную исходной функции через новую...

[infinity235]

Получил:
`y=1/2(z-(ln|2z+1|)/2)+C`
Теперь просто вместо z ставлю `x+2y+1`

[All_ex]

Откуда у Вас тут `y` взялся?... его пока не должно быть....

[infinity235]

[All_ex]

`(x+2y+1)dx-(2x+4y+3)dy=0`
`(2x+4y+3)y'=x+2y+1`
Замена
`z = x + 2y + 1 \ \ => \ \ z' = (x + 2y + 1)' \ \ => \ \ y' = (z'-1)/2`

по прежнему `x` переменная, заменили только искомую функцию...

Подставляем в ДУ:
`(2z+1) * (z'-1)/2 = z` ... теперь решайте...

[infinity235]

[All_ex]

Куда волшебным образом пропала 2 при переходе от 5-й строчки к 6-й?...

[infinity235]

Забыл домножить. Но в целом ход решения правильный?

[All_ex]

В целом, да... осталось нюансы исправить...

В 2) точно такое условие?...

[infinity235]

Вроде да. Если что потом задам отдельно вопрос.

Возможно, второе должно выглядеть так: `x*e^(-x) dx-x*y dy =dx`

[All_ex]

alprobyte, это было бы слишком просто... я бы предположил `x*e^(-x^2) dx-x*y dy = dy` или `(x-1)*e^(-x) dx-x*y dy =dy`