[secretchord]

Помогите с доказательством, пожалуйста

Пусть X - компактное метрическое пространство. Доказать, что у оператора `f: X rightarrow X`, который удовлетворяет условию` d(f(x),f(y))<d(x,y), x!=y` найдется неподвижная точка.

Продвинулась я не особо далеко. Получила неприрывность: `d(f(x_n),f(a)) < d(x_n,a) rightarrow 0`, если `x_n rightarrow a`, применения ей пока не нашла.
Идея решения: взять `x_0 in X`, образовать последовательность `x_n=f(x_(n-1))`. Тогда из компакности следует, что найдется сходящаяся подпоследовательность, `x_(n_k) rightarrow a`. Предполагаю, что `a` - искомая мной точка, но доказаь не могу.
Правильно ли двигаюсь? Что дальше делать?

@темы: Функциональный анализ

Comments

[Alidoro]

Правильно двигаетесь. Теперь при помощи непрерывности доказывайте, что a неподвижная точка.
Вообще-то это теорема о сжатых отображениях, которая есть в учебнике.

[secretchord]

`d (x_(n_k +1), f(a)) rightarrow d(a,f(a))`, `d (x_(n_k+1), f(a)) = d(f(x_(n_k)),f(a)) < d (x_(n_k),a) rightarrow 0`, значит, `a=f(a)` - так?

[Alidoro]

Так. Только я не пойму, почему в индексе стоит `+1`. И надо каждый шаг обосновывать.

[secretchord]

можно убрать `+1`, тогда `d (x_(n_k), f(a)) = d(f(x_(n_k-1)),f(a))`, предел от этого не меняется в любом случае... Или вы что-то другое имеете в виду?

[All_ex]

А Вы уверены, что выбрав подпоследовательность у Вас будет выполняться равенство `x_(n_(k+1)) = f(x_(n_k))`?

А ведь элемент `x_(n_k+1)` не принадлежит сходящейся подпоследовательности...

[Alidoro]

Тогда я просто не понял вашей логики. `d (x_(n_k), f(a)) to d(a,f(a))` здесь я думал, что можно использовать непрерывность функции d. (Непрерывность доказывается с помощью неравенства треугольника).

[Alidoro]

Вы знаете, пожалуй ваше утверждение неверно. Принцип сжимающих отображений немножко по-другому формулируется. А здесь даже есть упражнение, где требуется построить пример, когда это не так.
reslib.com/book/Elementi_teorii_funkcij_i_funkc...
Что-то я прозевал у вас ошибку.

[Alidoro]

Хотя нет, забудьте предыдущий пост. Там в условии полнота, а не компактность.

[Alidoro]

Вообще пока не вижу как решать. Даже сходящаяся последовательность `x_{n_k}` непонятно почему существует.
Как вы это обосновывали?

[Alidoro]

Вообще так доказывать можно. Непрерывность вы доказали правильно. Функция `d(x,f(x))` непрерывна на компакте, поэтому достигает нижней грани `d(a,f(a))`. Но `d(a,f(a))>d(f(a),f(f(a)))` Противоречие. Здесь еще доказывать непрерывность метрики, если вы это не доказывали. И теорема о достижении нижней грани у вас тоже должна была быть.

[Alidoro]

Да, пропустил немного логику. Противоречие чему? Тому, что `a ne f(a)`. `a` и будет неподвижной точкой.

[secretchord]

Да, уже увидела ошибку, что `x_(n_k+1)` не обязательно сходится к `a`.

Непрерывность метрики: `|d(x_n,y_n) - d(x,y)|<=d(x_n,x)+d(y_n,y) rightarrow 0` (неравенство четырехугольника), если `x_n rightarrow x` и `y_n rightarrow y`.
В силу непрерывности `d` достигает инфимума, обозначим точку, где это происходит, `a`, т.е. `d(x,f(x))>=d(a,f(a))` для всех `x`. Предположим, что `a` не неподвижная точка, `f(a)!=a`. Тогда `d(a,f(a))>d(f(a),f(f(a)))`. Это противоречие с тем, что `d(a,f(a))` инфимум, значит, `f(a)=a`. Теперь ближе к истине?

[Alidoro]

Да, похоже.