Найти третью сторону треугольника по 2 остальным

[GetG]

В треугольнике ABC середина стороны BC, центр вписанной окружности и точка касания вписанной окружности со стороной AB лежат на одной прямой. Найдите AB, если BC = 36, AC = 34.
Спасибо.

Решение:
Из условия задачи следует, что MT перпендик. TB => cos y = TB/MB = 2TB/a. Но TB = (a+c-b)/2, так что cos y = (a+c-b)/a.
Вопрос: Почему TB = (a+c-b)/2? Это же формула для радиуса вписанной окружности, но TB не равен радиусу! (...Приравниваем к теореме косинусов относительно самого косинуса, находим c.)

@темы: Планиметрия

Comments

[Robot]

Решение:
Из условия задачи следует, что MT перпендик. TB => cos y = TB/MB = 2TB/a. Но TB = (a+c-b)/2, так что cos y = (a+c-b)/a.
Вопрос: Почему TB = (a+c-b)/2? Это же формула для радиуса вписанной окружности, но TB не равен радиусу! (...Приравниваем к теореме косинусов относительно самого косинуса, находим c.)

Пусть окружность касается ВС в точке К, а АС в точке Е.
Если обозначить ТВ=ВК=x, АТ=АЕ=у, СЕ=СК=z, то (a+b+c)/2=x+y+z
Но y+z=b, поэтому (a+b+c)/2=x+b, откуда все и следует

(можно и иначе: 2x+y+z=a+c)

[Гость]

Ответ: 10. Достаточно взять отрезок `AT` в качестве основного неизвестного `y`. Выражаем все остальные отрезки через `y`. Находим площадь, периметр и радиус как функцию неизвестной `y`. Дальше вычисляем отрезок `TM` и из него находим другое выражение для радиуса вписанной окружности (ипользуя свойство точки `O`, делящей отрезок `TM` в известном отношении). Приравняв оба выражения для радиуса, получаем уравнение для `y`: `(y*(34-y))/(y+36)=((y+2)(16-y))/(y+20)<=>y=4`

[GetG]

Спасибо!