Интегралы

[infinity235]

Помогите решить интералы:
1.
`int (x^6dx)/sqrt(1+x^2)`
2.
`int dx/((x+1)^3sqrt(x^2+2x))`
3.
`int (x^2+x+1)/(xsqrt(x^2-x+1))dx`

@темы: Интегралы

Comments

[Alidoro]

Можно заменой `x=\mbox{tg}\ t`.
Это про первый интеграл речь шла. Пока писал, вы еще два интеграла выложили.

[Alidoro]

Вам говорили каким методом решать?

[infinity235]

Неа

[Alidoro]

Тогда вот здесь хорошо описаны алгоритмы и разбираются примеры
reslib.com/book/Sbornik_zadach_po_matematichesk...

[infinity235]

Ок. Спасибо.

[Alidoro]

Шестую степень x в исходном интеграле вы проигнорировали.

[Alidoro]

2. Можно выделить полный квадрат под радикалом. Тогда будет дифференциальный бином относительно (x+1).

[infinity235]

В процессе решения 1. выделился вот такой игтергал:
`int (sin^6(x)dx)/(cos^7(x))`
Который вызывает трудности.

[Alidoro]

Домножайте числитель и знаменатель на косинус и заносите косинус под дифференциал. Синус превращается в косинус и получится несколько интегралов от степенных функций.

[Alidoro]

Нет, неправильно. Нужно косинус в знаменателе превращать в синусы. Посложнее тогда будет.

[Alidoro]

Все равно неприятный интеграл получается. Проще уж тогда отказаться от тригонометрической замены и сделать по формуле (6) с неопределенными коэффициентами

[infinity235]

Не совсем понял алгоритм.

[_ТошА_]

Ну и применяйте метод неопр. коэффициентов

[Alidoro]

Теперь расписывать `Q(x)=Ax^5+Bx^4+...+F`, подставлять и находить неопределенные коэффициенты.

[infinity235]

Вообщем получил коэффиценты:
A=1/6
B=0
D=0
C=-5/24
E=-5/16
F=0
`Lambda=5/16`

[Alidoro]

`E` и `lambda` знаки не те вроде бы. Проверяю по Wolframalpha

[infinity235]

Да, согласен, ошибся...

[infinity235]

По 2. выделил квадрат, сделал замену, вылезло:
`int (dt)/(t^3sqrt(t^2-1))`
То же вызывает затруднение...
reslib.com/book/Sbornik_zadach_po_matematichesk... - решают подобный пример вводя ещё одну замену (используют гиперболический синус), хотелось бы более очевидного решения...

[Alidoro]

Я уже писал. Дифференциальный бином. `t^2-1=u^2`.

[infinity235]

Через бином получил интеграл:
`int dx/(x^2+1)^2`
Который не ясно как решать...

[Alidoro]

Что-то долго делали. Возможно, что неэкономно. Посмотрите потом примеры, как экономнее делать замену.

Дальше по частям.

[infinity235]

Просто перед тем как писать думаю, может сам могу решить, когда минут 5-10 ничего хорошего не получается - пишу.
По частям это какая-то экзотика...
`int (dx)/(x^2+1)^2=[U=1/(x^2+1)^2, dU=(-4xdx)/(x^2+1)^3, dV=dx, V=x]=x/(x^2+1)^2+4int(x^2dx)/(x^2+1)^3`
Ничего хорошего не вышло.

[Alidoro]

Примените формулу по частям к уже известному интегралу, когда в знаменателе первая степень скобки. Появится ваш интеграл, который надо выразить из получившегося уравнения.

[_ТошА_]

Ну и что дальше то? Добавьте и отнимите единицу, не тупите. Интеграл свелся сам к себе. Рекуррентная формула там

[Alidoro]

Да, можно и так.

[Alidoro]

_ТошА_, а что, арктангенс здесь не появится что ли?

[Alidoro]

А, появляется. По-моему, лучше делать как я сказал. Либо сразу выводить рекуррентную формулу для произвольного n, как здесь
reslib.com/book/Sbornik_zadach_po_matematichesk...

[infinity235]

1. Не знаю где вы тут увидели рекуррентную формулу, но если +/- 1, то:
`int (dx)/(x^2+1)^2-int (dx)/(x^2+1)^3`
Пришли к тому, что нужно теперь вычислять интеграл, где степерь больше
`int (dx)/(x^2+1)^3`

2. Пробую как говорит Alidoro:
`int (dx)/(x^2+1)^2=[U=1/(x^2+1), dU=(-2xdx)/(x^2+1)^3, dV=(dx)/(x^2+1), V=arctg(x)]=`
`(arctg(x))/(x^2+1)+2int(x*arctg(x)dx/(x^2+1)^2=`
`[U=x*arctg(x), dU=((x)/(x^2+1)+arctg(x))dx, dV=(dx)/(x^2+1), V=arctg(x)]=`
`arctg(x)/(x^2+1)+2(x*arctg^2(x)-int (x*arctg(x))/(x^2+1)+arctg^2(x))`
Получается очередная глупось.

[All_ex]

Извините, можно влезть?...

По 2. выделил квадрат, сделал замену, вылезло: `int (dt)/(t^3sqrt(t^2-1))`
можно предложить замену `t=1/(cos v)` ...

[infinity235]

Сори за кипишь, нашел решение из своего же вопроса - eek.diary.ru/p148838144.htm