Существует ли аналитическое решение?

[olegch]

Друзья, это было так давно, что все уже забыл... Есть ли аналитическое решение для такого дифура:


`ddot phi=cos phi`
Вторая производная по времени равна косинусу функции (если плохо видно).

@темы: Дифференциальные уравнения

Comments

[Гость]

Да, существует. Понижайте порядок уравнения (оно не содержит независимой переменной).

[Alidoro]

Это, похоже, математический маятник с точкой равновесия `pi/2`. Решается в квадратурах, но приводит к эллиптическим функциям. Что значит аналитическое решение — не совсем понятно. Будет ли решение аналитической функцией? Да будет.

[Alidoro]

Я не совсем то написал. Я хотел сказать, что точка равновесия `-pi/2`. Это устойчивая точка равновесия. Конечно, `pi/2` тоже точка равновесия, но она неустойчива (верхнее положение маятника). Разбор задачи можно поискать во многих источниках (по механике, по физике, по теории колебаний). Я могу лишь указать книгу Ф. Дингельдей. Сборник упражнений и практических задач по интегральному исчислению. М.-Л. 1932 г. с. 224 и далее.

[olegch]

Это уравнение вылезает при описании движения качелей (невесомая доска с двумя грузами на концах с опорой в некоторой точке). Думал, быстренько решу, но, оказывается, уже все забыл. Была бы первая производная, нет вопросов, как разделять переменные я еще помню. А тут затык. Под аналитическим решением я имел в виду функцию в явном виде.

[Alidoro]

Если вы ограничитесь малыми колебаниями около точки устойчивости, то можно огрубить задачу, заменив `sin x` на `x`. Тогда получается синусоида. Иначе — эллиптический интеграл.

[olegch]

Спасибо за помощь.

[olegch]

Alidoro, еще раз спасибо. Самое трудное оказалось найти эту книгу в инете. Но в конце концов скачал - отлично все изложено! Удивительно, что она (книга эта) не переиздавалась с 1932 года! И жаль, что в здешней библиотеке ее нет. Но я теперь могу выложить, только не знаю как.

[Alidoro]

Что же не попросили? Я бы залил эту книгу куда-нибудь. Или ссылку выложил. На bookfi.org она есть: bookfi.org/book/579341