Задача с МИИТ . Паруса надежды .

[FirstAID]

Решить уравнение :
`sin^3x+sin^3(2x)+sin^3(3x)=(sin3x+sin2x+sinx)^3`

@темы: Олимпиадные задачи

Comments

[вейко]

х=0 угадывается
еще 2корня могут быть

[Гость]

вейко, это тригонометрическое уравнение, функции периодические. И вообще кто так решает..

[All_ex]

Раскрыть скобки и привести подобные... останется сумма из трёх произведений синусов, а там уже можно и преобразовывать: либо сумму в произведение, либо наоборот...

[FirstAID]

All_ex,

останется сумма из трёх произведений синусов

может быть Вы имели в виду из семи ?

[All_ex]

Это я протормозил... шибко в квадрат захотелось возвести...

[к.черный]

подсказка scorpion с форума Ларина:
(результат реализации подсказки All_ex)

`(a+b+c)^3-a^3-b^3-c^3=3(a+b)(a+c)(b+c)`

[FirstAID]

тут не всё так просто как кажется =) .

[FirstAID]

к.черный, Вы до ответа дошли ?

[All_ex]

к.черный Красивая формула, но я действительно протормозил...
Если такую формулу не знать, то можно перенести `sin^3 3x` направо и воспользоваться разностью кубов, а слева суммой кубов, тогда `sin x + sin 2x` выделиться с обоих сторон, а дальше смотреть...

[FirstAID]

All_ex, Я всё это делал , всё смотрел , но вот только там не красиво получается. Тут сразу можно подкинуть несколько идей решения ( одну из таких подкинули Вы ) . Но при реализации этой идеи кажется , что конца преобразований нет .
Как я уже говорил выше ,тут не всё так просто как кажется .)))

[All_ex]

Почему? там раскрыв скобки и приведя подобные останутся четыре слагаемых, которые легко группируются и дают `(sin x + sin 3x)*(sin 2x + sin 3x)`... В общем пришли к формуле, приведённой к.черный

[к.черный]

FirstAID, почему нет конца преобразованиям?
формула, которую я привела (с чужой подачи), довольно быстро выводится.
Получаем совокупность трех уравнений:
`sinx+sin2x=0`
`sinx+sin3x=0`
`sin2x+sin3x=0`

В этих уравнениях дублируются корни, я не очень люблю с этим разбираться, но все получается не очень страшно

[All_ex]

`(sin x + sin 2x)*(sin^2 x - sin x * sin 2x + sin^2 2x) = (sin x + sin 2x)*([sin x + sin 2x + sin 3x]^2 +[sin x + sin 2x + sin 3x]* sin 3 x + sin^2 3x)`. Аккуратно раскрываем скобки и получаем `sin^2 3x + sin x * sin 3x + sin x * sin 2x +sin 3x * sin 2x =0`...

[All_ex]

Итого, получаем уже приведённую выше к.черный систему простейших уравнений...

[DarthSidious]

`sin^3x+sin^3(2x)+sin^3(3x)=(sin3x+sin2x+sinx)3`

`x^3+y^3+z^3=(x+y+z)3`

`x^3+y^3+z^3=(x^3+y^3+z^3)+3x^2(y+1)+3y^2(x+1)+3z^2(x+y)`

`3x^2(y+1)+3y^2(x+1)+3z^2(x+y)=0`

`x^2(y+1)+y^2(x+1)+z^2(x+y)=0`

`sin^6x*(sin(2x)+1)+sin^6(2x)*(sinx+1)+sin^6(3x)*(sinx+sin(2x))=0`

`sin^6(3x)*(sinx+sin(2x))=0`

`[(sin^6(2x)=0),(sinx+sin(2x)=0):}`

`[(2x=pin, n in ZZ),(2sin((3x)/2)*cos(x/2)=0):}`

`[(x=(pin)/2, n in ZZ),(sin((3x)/2)=0),(cos(x/2)=0):}`

`[(x=(pin)/2, n in ZZ),((3x)/2=(pin)/2, n in ZZ),(x/2=pi/2+pin, n in ZZ):}`

`[(x=(pin)/2, n in ZZ),(x=(2pin)/3, n in ZZ),(x=pi+2pin, n in ZZ):}`

Проверка первого корня: goo.gl/9tc92
второго корня: goo.gl/3kmyc
третьего корня: goo.gl/6UyIB

[All_ex]

DarthSidious А откуда `(y+1)` и `(x+1)`? там должно быть `(y+z)` и `(x+z)`... И ещё не видно произведения `xyz`...

[к.черный]

DarthSidious,
где-то вы потеряли (или не нашли) `(2pi)/5n`

[DarthSidious]

All_ex, маленько перепутал. Сейчас все исправлю.

[DarthSidious]

`sin^3x+sin^3(2x)+sin^3(3x)=(sin3x+sin2x+sinx)^3`

`sin^3(x)+sin^3(2 x)+sin^3(3 x) =` `sin^3(x)+sin^3(2 x)+sin^3(3 x)+3 sin(2 x) sin^2(x)+` `3 sin(3 x) sin^2(x)+3 sin^2(2 x) sin(x)+3 sin^2(3 x) sin(x)+` `3 sin(2 x) sin^2(3 x)+3 sin^2(2 x) sin(3 x)+6 sin(2 x) sin(3 x) sin(x)`

`3 sin(2 x) sin^2(x)+3 sin(3 x) sin^2(x)+3 sin^2(2 x) sin(x)+3 sin^2(3 x) sin(x)+` `3 sin(2 x) sin^2(3 x)+3 sin^2(2 x) sin(3 x)+6 sin(2 x) sin(3 x) sin(x)=0`

` sin(2 x) sin^2(x)+ sin(3 x) sin^2(x)+ sin^2(2 x) sin(x)+ sin^2(3 x) sin(x)+` `sin(2 x) sin^2(3 x)+ sin^2(2 x) sin(3 x)+2 sin(2 x) sin(3 x) sin(x)=0`

`2sinxcosxsin^2x+sin^2xsin3x+4sin^2xcos^2xsinx+sin^2(3 x)sinx+` `2sinxcosxsin^2(3 x)+4sin^2xcos^2xsin(3 x)+4sinxcosxsin3x=0`

`sinx(2cosxsin^2x(1+2cosx)+sin^3(3 x)(1+2cosx)+4sinxcosxsin3x(1+cos^x)+sin^2(3 x))=0`

`sin(x)cos(x)(2 cos(x)+1)(2 cos(x)+2 cos(2 x)+1) = 0`

...

[All_ex]

Я могу ошибаться, но в последней строчке куда-то волшебным образом исчез `sin 3x`...

Здесь опять можно вспомнить про вопрос к.черный про корень уравнения `(2*pi*n)/5`, который в последней строке ниоткуда не возьмётся...

[Гость]

All_ex, я пожалуй оставлю всё как есть. вот и в первом случае, в своей записи перепутал двойку с буквой z, и пошло всё поехало. Уж извиняйте.

[FirstAID]

Вот так же и я ...

[FirstAID]

Одна малейшая ошибка и всё к чёрту .

[FirstAID]

Кто-нибудь дошел до ВЕРНОГО ответа ?

[DarthSidious]

`sin^3x+sin^3(2x)+sin^3(3x)=(sin3x+sin2x+sinx)^3`

`u^3+v^3+z^3=(u+v+z)^3`

`u^3+v^3+z^3=u^3+3 u^2 v+3 u^2 z+3 u v^2+6 u v z+3 u z^2+v^3+3 v^2 z+3 v z^2+z^3`

`3 u^2 v+3 u^2 z+3 u v^2+6 u v z+3 u z^2+3 v^2 z+3 v z^2=0`

`3 (u+v) (u+z) (v+z) = 0`

`(u+v) (u+z) (v+z) = 0`

`(sin^3x+sin^3(2x))*(sin^3x+sin^3(3x))*(sin^3(2x)+sin^3(3x))=0`

`[(sin^3x+sin^3(2x)=0), (sin^3x+sin^3(3x)=0), (sin^3(2x)+sin^3(3x)=0):}`

1. `sin^3x+sin^3(2x)=0` `<=>` `(sin(x)+sin(2 x)) (sin^2(x)+sin^2(2 x)-sin(2 x) sin(x)) = 0 ` `<=>` `[(sin(x)+sin(2 x)=0), (sin^2(x)+sin^2(2 x)-sin(2 x) sin(x)=0):}` `<=>`

`<=>` `[(2sin((3x)/2)cos(x/2)=0), (sin(x)+sin(2 x)=t and sin(2 x) sin(x)=(t^2-1)/2):}` `<=>` ...

Также следует поступить и с остальными множителями.

[All_ex]

Ну, вот и добрались до формулы, предложенной к.черный, но как то быстро...
FirstAID я добрался... соберите мои топики во едино... но я тоже добрался до той же формулы, предложенной к.черный, но подробнее, чем DarthSidious...

[DarthSidious]

`3u^2 v+3u^2 z+3uv^2+6uv z+3uz^2+3v^2 z+3vz^2=0`

`u^2 v+u^2 z+uv^2+2uvz+uz^2+v^2 z+vz^2=0`

`(uv^2+2uv z+uz^2)+(v^2 z+vz^2)+(u^2 v+u^2 z)=0`

`u(v^2+2vz+z^2)+vz(v+z)+u^2(v+z)=0`

`u(v+z)^2+vz(v+z)+u^2(v+z)=0`

`(v+z)(u(v+z)+vz+u^2)=0`

`(v+z)(uv+uz+vz+u^2)=0`

`(v+z)(u(v+u)+z(u+v))=0`

`(v+z)(v+u)(u+z)=0`

[All_ex]

DarthSidious Ну, теперь другое дело...

[Гость]

DarthSidious,
u=sin3x и т.д.
Поэтому (v+z)(v+u)(u+z)=0 это совокупность
sin2x+sinx=0
sin2x+sin3x=0
sin3x+sinx=0