Векторы в координатах

[anuuta]

Вычислить координаты вершин С равностороннего треугольника АВС, если А(1;3), В(3;1).

Знаю, что задача элементарная, но векторы для меня вещь непонятная, никогда не занималась ими раньше
Я пыталась через скалярное произведение сделать что-нибудь:
|а|*|с|*cos60=|a|*|b|*cos60=5 , где |а|=|в|=sqrt10
получается:
x+3y=5
3x+y=5
у меня вышли координаты точки С (5/4; 5/4), конечно же это неправильно, в ответе даже 2 случая.

я немного запуталась... Подскажите, от чего оттолкнуться?

@темы: Векторная алгебра

Comments

[Robot]

Расстояния от точки С до А и В равны. И при этом равны расстоянию АВ
Координаты получатся плохие

[Хранитель печати]

anuuta,
почему у вас корень из 10 получился?

Задача имеет 2 решения, симметричных относительно прямой AB.
Я бы вначале вычислил длину стороны AB: `sqrt ((3 - 1)^2 + (1 - 3)^2) = sqrt(8) = 2 sqrt(2)`.
Точка С - такая точка, что длина вектора AB равна длине вектора BC.
Кроме того, векторы AB и AC составляют угол 60 градусов. Векторы BC и BA также имеют угол в 60 градусов.

Какие координаты будут у векторов AC и BC, если координаты точки C обозначить за (x, y)?
Вестимо, AC (x - 1, y - 3); BC (x-3, y-1).

Тогда `AB \cdot AC = x_{AB} \cdot x_{AC} + y_{AB} \cdot y_{AC}`. С другой стороны, это `|AB||AC| cos 60 = 4`

Условие равенства длин:
`(x-1)^2 + (y-3)^2 = 8`.
Подставляете выражение y через x из скалярного произведения (там вроде как получается x = y), решаете квадратное уравнение, автоматически получаете два корня.

[All_ex]

А зачем здесь скалярное произведение, если имеем два уравнения окружностей равного радиуса и ищем их точки пересечения?...

[anuuta]

все поняла, сейчас посчитаю) спасибо!

[Robot]

All_ex, Хранитель предложил второй способ