понедельник, 06 февраля 2012
19:33

касательная к параболе, Просьба о помощи

все записи пользователя в сообществе karina14
ЗДРАВСТВУЙТЕ, помогите пожалуйста найти доказательство без вычислений известному утверждению: касательная к параболе в любой её точке делит пополам отрезок между началом координат и проекцией на ось абсцисс точки, в которой проведена касательная. С уважением Карина.





P.S.
MK- касательная
*** Почему KO=OX ?

@темы: Высшая геометрия, Касательная

URL
Комментарии
06.02.2012 в 20:23

Гость
Парабола x=y^2?
URL
06.02.2012 в 20:24

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
По определению, парабола - это геометрическое место точек `M`, равноудалённых от заданной точки `F` и заданной прямой `AB` (по Вашей картинке)
Каноническая система (так же по картинке) содержит ось `Ox` перпендикулярную `AB` и проходящую через `F`, ось `Oy`проходит через середину перпендикуляра из `F` на `AB`. Это чуть теории...

Таким образом, треугольник `PMF` - равнобедренный, точка `E` середина основания, следовательно, `ME` - медиана, высота и биссектриса...
Но как из чистой геометрии показать, что`ME` ещё является касательной я пока не придумал...
URL
06.02.2012 в 20:58

karina14
Спасибо.
Вид параболы не имеет значения. Прошу обратить внимание. В литературе ссылаются на известное утверждение " ОК = ОХ " . Доказательство без вычислений мною не найдено - это и является моим вопросом.
URL
06.02.2012 в 20:59

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
Вычисления в этой задаче совсем простые. Возьмите каноническое уравнение параболы `y=2*p*x^2` (на Вашем рисунке при этом переобозначатся оси координат), напишите уравнение касательной в точке `x=x_0` и найдите её пересечение с осью `Ox`. Надо показать что координата точки пересечения будет `x_0/2`
URL
06.02.2012 в 21:03

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
То что `OK=OX` есть следствие определения параболы в вышеприведённом топике... Но почему при этом `MK` - касательная не понятно... (по моему это из определения не следует)
URL
06.02.2012 в 23:55

Robot
Я одна, но всё же я есть. Я не могу сделать всё, но всё же могу сделать что-то. И я не откажусь сделать то немногое, что могу (c)
karina14, касательная к параболе в любой её точке делит пополам отрезок между началом координат и проекцией на ось абсцисс точки, в которой проведена касательная.
тут условие скорее: делит пополам отрезок между началом координат и проекцией на ось ординат точки, в которой проведена касательная.
===
А оптическим свойством параболы пользоваться можно?
URL
07.02.2012 в 00:00

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
Robot Наверное не хорошо использовать оптическое свойство, которое является следствием свойств касательной...
Хотя :hmm:... если его можно доказать из других соображений, то наверное да...
URL
07.02.2012 в 00:16

Robot
Я одна, но всё же я есть. Я не могу сделать всё, но всё же могу сделать что-то. И я не откажусь сделать то немногое, что могу (c)
Но предположим, что оно у них уже доказано выше.
Почему бы не сослаться?
Мы тогда используем определение параболы как мн-ва точек равноудаленных от фокуса и директрисы (это дает равнобедренный треугольник PMF)
МЕ - касательная (из оптич. св. будет следовать, что угол РМЕ=углу ЕМF)
тогда биссектриса будет являться одновременно и медианой..

Но Вы правы.
Неизвестно даже, какое у них было определение параболы и в каком порядке шли свойства.
И не очень понятно все же, что нужно доказать - в текстовой форме написано неправильно
URL
07.02.2012 в 04:10

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
Тут меня посетила такая мысль...



Используем определение параболы, указанное выше. Пусть `M` точка на параболе и для неё `MF=MP`. Пусть `E` середина `FP`. Проведём прямую `ME` - это прямая, которая удовлетворяет нужному в задаче условию. Осталось показать, что это касательная...
Для этого рассматриваем произвольную точку `M'` на прямой `ME` и показываем, что `FM'>P'M'`, то есть все токи параболы расположены с одной стороны от прямой `ME`, откуда следует нужный вывод про касательную.

На рисунке рассмотрена выкладка для `M'` выше точки `M`. Расположение с другой стороны рассматривается аналогично...
Я не знаю насколько здесь мало вычислений, но уравнение касательной и самой параболы не используется...
URL