[Trinity Soul]

Найти интеграл от (1-х^2)^1\2.
Пробую заменой t=1-х^2
Но, в итоге, помимо t под интегралом остается x, совершенно не знаю что с ним делать.

@темы: Интегралы

Comments

[Гость]

x=sint

[_ТошА_]

разок по частям можно еще

[Trinity Soul]

_ТошА_, можно поподробнее? Что обозначать за u?

[_ТошА_]

корень конечно, как будто есть другие варианты

[Trinity Soul]

Ответ: x*sqrt(1-x^2) + (2/3)*x^3 Верно?
И еще вопрос: как при замене x=sint ввести обратную замену? У меня остались t и sin2t.

[_ТошА_]

проверьте ебя сами дифференцированием.
t = arcsin(x)
sin2t = 2sintcost

[Trinity Soul]

Судя по проверке что-то пошло не так в решении. Попробую еще раз.

[Trinity Soul]

При решении появился такой интеграл x^2/sqrt(1-x^2)- как с ним разобраться? По частям не получается, происходит повышение степени x и необходимость интегрировать еще раз остается.

[_ТошА_]

добавьте и отнимите 1 в числителе, разбейте на 2. Получите уравнение линейное относительно своего интеграла.

[Trinity Soul]

Вторая часть - arcsinx, а с первой (x^2-1)/sqrt(1-x^2) как быть?

[_ТошА_]

Сократить. Получите `- int sqrt(1 - x^2) dx`

[Trinity Soul]

И дальше что?

[_ТошА_]

ну у вас получилось (обозначая `I = int sqrt(1 - x^2)dx`)
`I = x*sqrt(1 - x^2) - I + arsin(x)`
`2I = x*sqrt(1 - x^2) + arcsin(x)`
`I = x/2sqrt(1 - x^2) + 1/2arcsin(x) + C`

[Trinity Soul]

Да, так. Теперь все ясно. Благодарю за помощь)

[_ТошА_]

пожалуйста