Ряды,Маклорена,Тейлора

[everliving]

Добрый вечер, прошу помощи в решении заданий! Все что смог решить в изображениях!

1. Найти область сходимости функционального ряда.
1)`sum_(n=1)^infty (5n+2)/((x-6)^2)`
2)`sum_(n=1)^infty (2n+5)/((x+1)^n)`

2.Два отличных от нуля ряда Маклорена.

`e^(1/(1+x))`

3. Разложить функцию в ряд Тейлора в окрестности точки Xo и определить область сходимости

1) `4^(-2x)`, x0=1
2) `log_3(2x+1)` , x0=2
3) `e^(x^2-2x)`, x0=1

@темы: Ряды

Comments

[Гость]

По поводу задания 1.
Почему между пределами знаки следования? Должны быть знаки равенства.
Потом там должен быть модуль
|x-6|^n/|x-6|^(n+1)=1/|x-6|
И решать неравенство с модулем.
Потом Вы не исследовали на границах.
Аналогично и со вторым.

[everliving]

Спасибо исправлю! Предел найден правильно?

[Гость]

Да, за исключением модуля.

[~ghost]

Всем доброго времени суток.
everliving, в 3-ем задании ( ряд Тейлора в окрестности точки Xo ): у Вас на фото что-то есть только о №3(3), но что Вы пытались в нем сделать? поделить друг на друга 2 ряда?? =(
В 3-ем можно везде свести к известным разложениям в ряд Маклорена - в каждом случае заменить сначала t =(x-x0), и раскладывать по степеням t . Как-то так:
1) `t=x-1`; тогда`4^(-2*(t+1)) = 4^(-2)*4^(-2t) = (1/16)*( e^(ln(4^(-2t))) ) =(1/16)*(e^((-2t)*ln4)` {и для `e^((-2*ln4)*t )` — Маклорен}
2) `t=x-2`; тогда `ln(2x+1)/ln(3) =(1/ln3)*ln(2t+5) =(1/ln3)*ln( 5*(1+(2/5)*t) )` { сводится к ln(1+k*t) }
3) `t=x-1`; тогда `e^((x-1)^2-1)= e^((t^2)-1) =(1/e)*e^(t^2)` {раскладываете e^(t^2)}