Задача

[umar.ibragimov]

Здравствуйте, помогите пожалуйста решить. "Найдите максимальное значение выражения `x^2+y^2+z^2+w^2`, если `x`, `y`, `z`, `w` удовлетворяют системе: `{(x^2+y^2+2*x=4*y+11),(z^2+w^2+2*w=2*z+167),(x*w+z*y+w+x>=49+2*z+y):}".
Пробовал сложить все уравнения системы, но никуда так и не пришел... Так-же пытался представить первые два уравнения как формулы окружности, а последнее неравенство раскладывал на множители, там дальше можно ввести замену, но все равно, чувствую не то...


поднято модератором

запись создана: 29.12.2011 в 13:58

@темы: Олимпиадные задачи

Comments

[Trotill]

Откуда задачка?

[umar.ibragimov]

С олимпиады Саммат (да мне стыдно, что там даже ответ есть а я решить не могу, да еще и за 10 класс...)

[Trotill]

Попробуйте найти M1 max по первому уравнению, M2 max по второму уравнению - вдруг повезёт и точка будет удовлетворять третьему уравнению?
А ответ какой?

[umar.ibragimov]

Извините, долго не отвечаю, ответ: 192+sqrt(314)*2

[Trotil]

> да мне стыдно, что там даже ответ есть а я решить не могу, да еще и за 10 класс...

Да ладно, я тоже не могу решить )))

[к.черный]

Пробовал сложить все уравнения системы, но никуда так и не пришел... Так-же пытался представить первые два уравнения как формулы окружности, а последнее неравенство раскладывал на множители, там дальше можно ввести замену, но все равно, чувствую не то...

я тоже не вырулила, но получается очень заманчиво.
`{((x+1)^2+(y-2)^2=16),((w+1)^2+(z-1)^2=169),((x+1)(w+1)+(y-2)(z-1)>=52):}`

Рассмотрим векторы `vecp{x+1; y-2}` и `vecq{w+1; z-1}`
Получаем из первых двух уравнений, что длины векторов `|vecp|=4`, `|vecq|=13`,
а из третьего неравенства, что скалярное произведение `vecp*vecq>=52`
Но `vecp*vecq=|vecp|*|vecq|*cospq<=52` => `vecp*vecq=52`, `cospq=1`, и векторы p и q сонаправлены.

Дальше пока не знаю. Только кажется, что это не может быть просто так

[VEk]

к.черный, именно так! Потом еще надо сложить первые два уравнения и выразить искомую функцию через `(x+1)` и `(y-2)` (с учетом сонаправленности векторов). А далее выразить `(x+1)` и `(y-2)` через тригонометрическую замену, и использовать формулу сложения гармонических колебаний. У меня правда в ответе `sqrt(730)`, но, возможно, ошибся в подсчетах.

[к.черный]

у меня `192+2*sqrt(730)`
(исправила)

[VEk]

к.черный, у меня двойка перед корнем, а не в знаменателе. Возможно, ошибся.

[VEk]

к.черный, Похоже авторы ошиблись при приведении подобных и получили не `k+2`, а `k-2`, где `k=13/4` - коэффициент в условии коллинеарности векторов. Тогда получается `314=17^2+5^2`.

[FirstAID]

umar.ibragimov, Большое спасибо за задание !
VEk,

А далее выразить (x+1) и (y-2) через тригонометрическую замену,

У меня после сложения получилось :
(k^2+1)(y-2)^2(x+1)^2=169+16
А как дальше через тригонометрич . замену выражать ?

формулу сложения гармонических колебаний.

А вот это вообще не понятно ...

[VEk]

FirstAID, как у Вас сложилось, непонятно. Где-то ошибка.

формулу сложения гармонических колебаний.

Это формула `a* cos alpha+b*sin alpha=...`

[к.черный]

формулу сложения гармонических колебаний.
А вот это вообще не понятно ...

ага, я тоже на пару секунд замешкалась

В базовом курсе формулу введения вспомогательного угла не увязывают с гармоническими колебаниями.
Гармонические колебания, я помню, коротко рассматривают в "Колмогорове".
В "Мордковиче" вообще нет

[к.черный]

FirstAID, после того, как мы выяснили, что векторы p и q сонаправлены, лучше сразу выяснить k и выразить w через х, а z через у.
и VEk писал:

сложить первые два уравнения

нужно сложить исходные два уравнения, требуемую сумму четырех квадратоа оставить в левой части, все остальное перенести в правую часть и сгруппировать по (х+1) и (у-2)

А как дальше через тригонометрич . замену выражать ?

в общем случае: если х, у принадлежат окружности x^2+y^2=R^2, то
x=R*cost, y=R*sint

[VEk]

Гармонические колебания, я помню, коротко рассматривают в "Колмогорове".

И в Виленкине.

[FirstAID]

т.к p и q сонаправлены => `k(x+1)=(w+1) ; k(y-2)=(z-1) `
=> первое уравнение ,которое предложила к.черный, будет выглядеть так же , а второе :
`k^2(w+1)^2+k^2(z-1)^2=169 ` ; => ` k^2(w+1)^2+k^2(z-1)^2+(w+1)^2+(z-1)^2=169+16`
`k^2((w+1)^2+(z-1)^2)+ (w+1)^2+(z-1)^2=169+16 `
` ((w+1)^2+(z-1)^2)(k^2+1)=169+16 `

[FirstAID]

Какую тут тригонометрическую замену нужно делать - не знаю .

[FirstAID]

И если делать как сказала к.черный, то у нас радиусы сократятся и получится sin^2t+cos^2t=1 .
Скорее всего , я что-то недопонимаю ...

[к.черный]

первое уравнение ,которое предложила к.черный, будет выглядеть так же

мне уже кажется, что я что-то другое предложила...

1) из сонаправленности векторов: w+1=13/4(x+1), z-1=13/4(y-2)
2) Даны уравнения:

x^2+y^2+2*x=4*y+11

z^2+w^2+2*w=2*z+167

Складываем их
x^2+y^2+2*x+z^2+w^2+2*w=4*y+11+2*z+167

требуемую сумму четырех квадратоа оставить в левой части, все остальное перенести в правую часть

x^2+y^2+z^2+w^2=-2x+4y+2z-2w+178

Дальше я делала так с правой частью
-2x+4y+2z-2w+178=-2(x+1)+4(y-2)+2(z-1)-2(w+1)+192=-2(x+1)+4(y-2)+13/2(y-2)-13/2(x+1)+192=

=-17/2(x+1)+21/2(y-2)+192

далее x+1 и y-2 заменяем по указанию:

в общем случае: если х, у принадлежат окружности x^2+y^2=R^2, то
x=R*cost, y=R*sint

,

т.е. x+1=4*cost, y-2=4*sint

[Trotil]

FirstAID,

Есть два множества точек - две окружности.

Каждое множество можно описать вектором:
vec p{x+1; y-2}, |p|=4
vec q{w+1; z-1}, |q|=13

Кроме того, мы выяснили, что вектора коллинеарны и сонаправлены.

Нужно найти максимум длин двух векторов.
Но не p и q вектора.

Я сделал рисунок.

s52.radikal.ru/i136/1201/9f/b48c8aa497e0.gif

Выбран некоторый угол (по рисунку видно, что нужен один параметр, чтобы описать множество всех возможных точек, удовлетворяющих условию).

Максимум в задаче - сумма длин линий зелёного цвета.

[Trotil]

У меня на рисунке сбились центры

[к.черный]

о! Я такую же картинку рисовала,
только геометрически не смогла решить

[Trotil]

к.черный, если есть желание, можно проверить.

я взял произвольный угол
Pi - arctg (1/4)

Программа позволяет вычислить длины.
При таком угле у меня получилось 5.71 + 14.23 = 19.94

к.черный, а при каком угле достигается максимум? Я могу нарисовать и проверить длину.

[к.черный]

а при каком угле достигается максимум?

ой. Это без меня

[Trotil]

к.черный, )))

Мне тоже не хочется копаться в этих вычислениях

FirstAID, задачу можно решить геометрически, используя теорему косинусов.

Можно построить треугольник из
- линии (0,0) - (-1,2)
- радиуса окружности
- радиус-вектора из начала координат

Длина двух линий известна (sqrt(5) и 4).
Угол между ними - переменная величина - (альфа+arctg 1/2).
Через теорему косинусов можно вычислить квадрат длины третьей стороны.

Для второго треугольника:
Длина двух линий известна (sqrt(2) и 13).
Угол между ними - переменная величина - (альфа+Pi/4).
Через теорему косинусов можно вычислить квадрат длины третьей стороны.

Так, наверное, даже проще решить.

[к.черный]

В общем.
Максимум получается, когда фиолетовый угол равен примерно 129 гр, а зеленый - соответственно - 51.

Так, наверное, даже проще решить

а то же самое

[FirstAID]

к.черный, У меня через векторы как у Вас получилось :
`2sqrt(730)+192` .
Сейчас геометрически попробую .

[Trotil]

к.черный, отлично! Спасибо!

[FirstAID]

Trotil, у Вас тот же ответ геометрически получился ?

[Trotil]

Я до конца не считал. Но по идее, должен быть одинаковый.