Здравствуйте, проверьте пожалуйста решение данной задачи.
Задание: разложить функцию в ряд Маклорена, определить область сходимости ряда
`f(x)=ln(4+x^2)`
решение
Преобразовываю, вынес 4
`ln(4+x^2)=ln(4(1+(x^2)/4)=ln4 + ln(1+(x^2)/4)`
Воспользуемся разложением в ряд Маклорена функции `ln(1+x)=x-((x^2)/2)+((x^3)/3)-...+((-1)^(n+1))*((x^n)/n)+...`; область -1<x<=1
в моём примере заменяю x на (x^2)/4
`ln(4+x^2)=ln4+((x^2)/4)-((x^2)/(4*2))^2+((x^2)/(4*3))^3-...+((-1)^(n+1))*((x^2)/(n*4))^n+...`; область сходимости -4<x<=4
Задание: разложить функцию в ряд Маклорена, определить область сходимости ряда
`f(x)=ln(4+x^2)`
решение
Преобразовываю, вынес 4
`ln(4+x^2)=ln(4(1+(x^2)/4)=ln4 + ln(1+(x^2)/4)`
Воспользуемся разложением в ряд Маклорена функции `ln(1+x)=x-((x^2)/2)+((x^3)/3)-...+((-1)^(n+1))*((x^n)/n)+...`; область -1<x<=1
в моём примере заменяю x на (x^2)/4
`ln(4+x^2)=ln4+((x^2)/4)-((x^2)/(4*2))^2+((x^2)/(4*3))^3-...+((-1)^(n+1))*((x^2)/(n*4))^n+...`; область сходимости -4<x<=4
-
-
25.12.2011 в 02:50VitalikK, разложение для `ln(1+x)` записано верно;
дальше -или неверно оформили запись в топике, или действительно неверно заменили на `(x^2)/4` ( вместо x ) — почему знаменатели ( из "основного" разложения ) стали возводится в степени вместе с "четверками"?
Область сходимости - не такая.
Даже если формально в неравенствах `-1 < x <= 1` подставить `(x^2)/4` вместо `x` - все равно не так будет.
(а лучше, наверное, записать признак Даламбера для элементов полученного ( т.е. исправленного ) ряда; и проверить, что будет на концах интервала сходимости).