Гиперболический арктангенс

[boris.petrovich]

пример

`int dx/sqrt(2+e^x)`

если использовать одни замены то получится:

`t=e^x`
`dt=e^xdx`
`dx=dt/e^x=dt/t`

подставим

`int (dt/t)/(sqrt(2+t))=int dt/(t*sqrt(2+t))`

заменим второй раз

`s=2+t`
`ds=dt`
`t=s-2`

подставим

`int (ds)/(s-2*sqrt(s))">

заменим третий раз

`p=sqrt(s)`
`dp=(1/(2*sqrt(s)))*ds=(1/(2p))*ds`
`ds=dp*2p`
`s=p^2`

подставим

`int (dp2p)/(p^2-2p)=int (p(2dp))/(p(p-2))=int (2dp)/(p-2)=2 int (dp)/(p-2)`

если проинтегрировать то что получилось то будет `2ln|p-2|`

...и тут становится ясно что это не будет ответом который выдает вольфрам альфа, а выдает он
`-sqrt(2)arctgh(sqrt(e^x+2)/sqrt(2))`

может быть есть какой то более легкий способ решить это, и откуда вольфрам берет этот гиперболический арктангенс тоже не смог найти я по таблицам...

@темы: Интегралы

Comments

[Alidoro]

Формула "высокий логарифм" и есть гиперболический арктангенс. Несовпадение в формулах не означает, что ответы различаются, тем более, что интегралы могут отличаться константами и даже разными константами на разных интервалах. Так что не берите в голову. Вы лучше используйте Wolfram Alpha чтобы проверить полученный вами ответ дифференцированием.

[boris.petrovich]

проверил производную от этого логарифма, совсем не то получилось, значит я неправильно решил, прошу вас помогите разобраться

[Alidoro]

`int (ds)/(s-2*sqrt(s))`
Здесь s-2 должно быть в скобках.