Задачка по ангему

[yoggik_wow]

Люди, никто не может помочь,вы считаете это слишком наивным или я совсем неправильно начала и вам не хочется объяснять?

Задача:
написать уравнение параболы, осью которой служит прямая x+y+1=0 и которая проходит через точки (0,0) и (0,1).

Решение:
Я находила уже подобную задачу в данном сообществе. Там предлагалось воспользоваться тем, что директриса перпендикулярна оси параболы, поэтому ее уравнение x-y+b=0, а фокус лежит на оси, и если его координаты F(x0,y0), то y0=-x0-1. Далее следовало воспользоваться директориальным сво-м параболы, что расстояние от точки до фокуса равно расстоянию от точки до директрисы.
В результате у меня получилась вот такая система:
sqr((x0)^2+(y0)^2)=b/sqr(2)
sqr((x0)^2+(y0-1)^2)=(b-1)/sqr(2)
y0=-x0-1

Вопрос вот в чем: решаю эту систему ( а точнее перерешивая ее кучу раз) все время натыкаюсь на странные страшные числа. Не могли бы вы посмотреть и сказать: есть ли ошибка в моем решении?

запись создана: 14.12.2011 в 17:43

@темы: Аналитическая геометрия

Comments

[Robot]

Люди, никто не может помочь,вы считаете это слишком наивным или я совсем неправильно начала и вам лениво объяснять?

yoggik_wow, я помню, что с той задачей мы мучились-мучились..
Вы бы хоть ссылку на тот топик дали, кто там занимался этой задачей?

Не могли бы вы посмотреть и сказать: есть ли ошибка в моем решении?

Мы не видим Вашего решения и ваших страшных цифр

[yoggik_wow]

Вы бы хоть ссылку на тот топик дали, кто там занимался этой задачей?

Занимались Вы. По крайне мере я шла по Вашему решению. Вот топик

Мы не видим Вашего решения и ваших страшных цифр

Я имела ввиду, что правильные ли у меня рассуждения и система..

[Robot]

sqr((x0)^2+(y0-1)^2)=(b-1)/sqr(2)

здесь в правой части |b-1|
и в первом уравнении |b|
Но при возведении в квадрат все равно будет b^2
Так вроде все, как нужно..

[Гость]

Замените переменные `u=x+y+1`, `v=x-y`. В в новых переменных ось симметрии имеет уравнение `u=0`. Следовательно, уравнение параболы `v=au^2+b`. Коэффициенты `a,b` найдите по данным двум точкам и вернитесь к исходным переменным.

[yoggik_wow]

Замените переменные

А почему именно такая замена?

[yoggik_wow]

Гость, а мы должны подставлять точки (0,0) и (0,1) или искать их координаты в новой системе?
Robot, вот мое решение системы:

[Гость]

Совершается некоторое аффинное преобразование (линейное взаимно однозначное) плоскости. При любом таком преобразовании плоскости парабола переходит в параболу, ось симметрии переходит в ось симметрии. Поэтому можно взять любые `u=a_{1,1}x+a_{1,2}y+c_1`, `v=a_{2,1}x+a_{2,2}y+c_2`, для которых определитель матрицы `A` не равен нулю.

[Robot]

yoggik_wow, вот мое решение системы:

лучше последуйте совету Гостя

[Гость]

Гость, а мы должны подставлять точки (0,0) и (0,1) или искать их координаты в новой системе?

Это не замена координат. Это отображение плоскости на другую плоскость с возвращение обратно. Подставлять надо образы данных точек при данном отображении.

[yoggik_wow]

Подставлять надо образы данных точек при данном отображении.

А как находить эти образы?

[Гость]

А как находить эти образы?

Подставить `x,y` и получить `u,v`.

[yoggik_wow]

Гость, спасибо большое! все получилось

[Гость]

К моему сообщению от 2011-12-14 в 20:05 требуется дополнение. Ось симметрии в общем случае переходит в так называемый диаметр параболы. Для того, чтобы ось симметрии непременно перешла в ось симметрии надо потребовать выполнения условий `a_{11}a_{21}+a_{21}a_{22}=0`, `a_{11}^2+a_{21}^2=a_{12}^2+a_{22}^2` что учтено в предложенных формулах `u=x+y+1`, `v=x-y`. Если еще и на `\sqrt{2}` поделить все коэффициенты при `x` и `y`, то получиться то, что называется изометрическое отображение. Вам делить не обязательно, просто к изометрическому отображению у Вас добавлено растяжение плоскости по всем направлениям с одинаковым коэффициентом (гомотетия). Главное, перпендикулярность отрезков у Вас сохраняется. Пусть длины всех отрезков увеличиваются в `\sqrt{2}` раз, зато коэффициенты "хорошие" и быстро получается ответ.