Составить уравнение параболы

[HelterSkelter!]

Помогите, пожалуйста, вот с таким заданием из контрольной:

Написать уравнение параболы, осью которой служит прямая x+y+1=0 и проходит через точки (0,0), (0,1)

Оказалось, что преобразования поворота нельзя было использовать. Что же тогда делать?
(добавлено и поднято Дианой)

запись создана: 09.11.2010 в 20:00

@темы: Аналитическая геометрия, Линии второго порядка

Comments

[Диана Шипилова]

Поверните систему координат на 45°, чтобы ось стала вертикальной. Затем проследите за выполнением всех условий.

[HelterSkelter!]

Вот как раз с поворотом системы координат у меня большие проблемы Вы не могли бы подробней объяснить, пожалуйста.

[Диана Шипилова]

Полученные формулы называются формулами поворота осей. Они позволяют определять старые координаты (х; у) произвольной точки Μ через новые координаты (х';у') этой же точки М, и наоборот.

[HelterSkelter!]

И тогда получится, что в новой системе координат парабола проходит через точки (0;0) и (sqrt(2)/2;sqrt(2)/2)?

[Диана Шипилова]

HelterSkelter!
Да.

[HelterSkelter!]

Объясните еще, почему нужно именно на 45 градусов поворачивать?

[Диана Шипилова]

Потому что у параболы ось

x+y+1=0

, она должна быть вертикальной.
Не забудьте, кстати, найти вершину параболы — она должна лежать на оси.

[HelterSkelter!]

Так а почему именно на 45,я этого не могу понять, не на 30, не на 60, а именно на 45?
И теперь парабола симметрична относительно Oy? А как вершину найти, тоже не соображаю...

[Диана Шипилова]

И теперь парабола симметрична относительно Oy?

Нет, она симметрична относительно своей оси.
Запишите уравнение оси в новой системе координат. Оно будет иметь вид x' = число. Это число и есть абсцисса вершины.
Далее у нас есть уравнение параболы в общем виде (y' = ax'² + bx' + c) и три условия: парабола проходит через (0; 0), `(sqrt(2)/2; sqrt(2)/2)` и вершина ее — найденное нами число. Отсюда находим коэффициенты и не забудем потом перевести уравнение в старую систему координат.

[HelterSkelter!]

У меня почему-то получается, что уравнение оси в новой системе имеет вид y' = -sqtr(2)/2

[Диана Шипилова]

Нет, должен остаться только x'. Приведите свои вычисления.

[HelterSkelter!]

Вот так:
(sqrt(2)/2)х + (sqrt(2)/2)у - (sqrt(2)/2)х + (sqrt(2)/2)у + 1 = 0

[Диана Шипилова]

А теперь сравните то, что вы написали, с формулами для поворота. Минус будет не там.

[HelterSkelter!]

Я искала по вот этим:
x' = xcosa + ysina
y' = -xsina + ycosa

И точки так же находила. Или всё-таки надо по тем, которые Вы привели?

[Диана Шипилова]

Но уравнение прямой-то задано через старые координаты, а не новые.
Вы привели формулы для обратного перехода.

[HelterSkelter!]

Всё, поняла)
Тогда x' = - sqrt(2)/2

После этого я нахожу a,b,c и перехожу в старую систему координат как раз по тем формулам, что написала?

[Диана Шипилова]

- sqrt(2)/2

Вы уверены, что там будет минус? Проверьте знак, мне кажется, там должен быть плюс.

После этого я нахожу a,b,c и перехожу в старую систему координат как раз по тем формулам, что написала?

Да, именно так.

[HelterSkelter!]

Перепроверила, всё равно минус.
Теперь мне всё ясно, кроме одного момента - 45 градусов)))) Почему именно 45?

[Диана Шипилова]

HelterSkelter!
А вы до сих пор не начертили график функции

x+y+1=0

? Там все сразу видно.
Аналитически на этот вопрос можно ответить, найдя угловой коэффициент этой прямой и соответственно угол наклона — без построений.
Да, вы правы, минус.

[Гость]

Всё, разобралась)
Спасибо Вам огромное за помощь! Очень Вам благодарна

[Диана Шипилова]

Пожалуйста

[HelterSkelter!]

Оказалось, что нельзя использовать преобразование поворота. Подскажите, пожалуйста, что делать в таком случае?

[Диана Шипилова]

Не пробовала решать, нет времени, но владелец сообщества пишет:

Я пыталась составлять систему уравнений исходя из того, что точки параболы равноудалены от фокуса и директрисы.
фокус принадлежит оси (которая задана), директриса перпендикулярна этой оси

[HelterSkelter!]

Простите, но я всё равно не понимаю, как это сделать

[Robot]

HelterSkelter!
Я уже тот листочек потеряла
Смысл такой:
Пусть фокус F(xo,yo)
Фокус лежит на оси параболы, то есть на прямой

x+y+1=0

или у=-х-1, а значит, уо=-хо-1
Далее: директриса d перпендикулярна оси параболы , поэтому ее уравнение y=x+b (произведение угловых коэффициентов взаимно перпендикулярных прямых равно -1) или x-y+b=0
Таким образом, у нас две неизвестных величины. И два условия
По определению параболы расстояние от каждой ее точки до фокуса равно расстоянию от нее до директрисы
О(0,0), А(0,1)
то есть |OF|=p(O,d)
|AF|=p(A,d)
p расстояние от точки до прямой
Получаем два уравнения, откуда находим b,xo,yo
Но тут я не досчитывала
Когда же будут известны координаты фокуса и уравнение директрисы снова используем определение параболы
М (х,у)- точка параболы тогда и только тогда, когда |MF|=p(M,d)

[HelterSkelter!]

То есть, если у меня получился фокус F(-1/2,-1/2), а уравнение директрисы x-y-1=0, то последний этап:
sqrt((-1/2-x)^2 + (-1/2-y)^2) = (x - y - 1)/sqrt(2)
Далее я возведу в квадрат, приведу подобные - и это и будет уравнением данного эллипса. Верно?

[Robot]

перепроверьте
вроде расстояние от (0,1) до

F(-1/2,-1/2)

не равно расстоянию до d

x-y-1=0

но принцип такой
(только не эллипс, а парабола)

[HelterSkelter!]

Да-да, пересчитала только что, там совершенно другой фокус и директриса, ошиблась я.
Ой, парабола, конечно! (просто параллельно думаю и о другой задаче)))
Теперь всё понятно. Спасибо Вам огромнейшее!

[Robot]

HelterSkelter!
Пож-та
Вы проверьте свое уравнение по первому способу, они должны совпадать

[Merhaba]

Диана Шипилова
Извините, что вторгаюсь в переписку.. мне задали решать точно такую же задачу...

Я что-то не пойму, как найти a,b,c в y' = ax'² + bx' + c ... Объясните Пожалуйста...