Является ли функция инъекцией, сюръекцией, биекцией

[tvims]

Большая просьба просмотреть и прокомментироваь решение данной задачи. Очень не хочется покупать типовик по дискретке. Хочу решить сама - с Вашей помощью, профессионалы.


Является ли функция инъекцией, сюръекцией, биекцией: h(n)={(n+1, четное), (n-1, нечетное) :}

Функция f называется инъекцией, если из x1≠x2 следует f(x1)≠f(x2) .
D(h)=N . Каждое натуральное число n имеет однозначно определенное непосредственно последующее число: натуральное число n+1 . То есть для четных n следует если n1≠n2, то h(n1)≠h(n2) .
Каждое натуральное число n≠0 имеет однозначно определенного предшественника: натуральное число n-1. То есть для нечетных n следует если n1≠n2, то h(n1)≠h(n2) .
Единица есть нечетное число. При сложении четного и нечетного чисел в результате всегда получаем нечетное число. Следовательно, для всех четных n результат функции h(n) – нечетное число. При вычитании нечетного числа из нечетного числа в результате всегда получаем четное число. Следовательно, для всех нечетных n результат функции h(n) – четное число. Таким образом, если n1 – четное, n2 – нечетное, то h(n1)≠h(n2) .
Получили, что из n1≠n2 следует h(n1)≠h(n2) , то есть функция h(n) – инъекция.
Функция f:A→B называется сюръекцией, если E(f)=B .
E(h)=N, так как любое значение y∈N есть значение h(n) при некотором n , то есть существует обратная функция
n={(y+1, четное), (y-1, нечетное) :}
Таким образом, функция – сюръекция.
Функция является биекцией, если она инъективна и сюръективна. Таким образом, функция h(n) – биекция.

@темы: Функции, Дискретная математика

Comments

[Гость]

Нуль является натуральным числом?

[Alidoro]

По-моему, нормально. Биекция на множестве целых чисел, конечно.
На множестве натуральных чисел функция не определена. Для единицы, например.

[Гость]

На множестве натуральных чисел функция не определена. Для единицы, например.

Можно начать и с двойки

[tvims]

У меня в справочнике по математике как раз было указано что 0∈N. Я на это и опиралась. Сейчас бегленько в инете посмотрела: не всегда ноль из натуральных чисел исключен. И если натуральные без нуля берутся то обозначаются N*.

Или все же мне написать D(h)=Z и E(h)=Z?

Меня с самого начала как-то смущало что не заданы область определения и область значений. Но во всех раобранных в книжке примерах (в главе элементы теории множеств) "n" используется как обозначение элемента множества натуральных чисел.

[Alidoro]

А зачем вы в справочнике и в инете смотрите? Здесь есть разночтения, так что надо спрашивать у преподавателя. В логике и аксиоматических теориях типа аксиом Пеано 0 включается в натуральные числа. Но вообще-то это исключительный случай. То что такое у вас написано в справочнике по математике, очень странно.

[tvims]

В учебнике по которому большинство задач моего РГР составлено, то же сказано :"... получаем множество всех натуральных чисел {0,1,2,...,n,...}, обозначаемое w." (Учебник по дискретной математике Судоплатова)

С учетом этого как мне поступить с D(h) и E(h)? Принять их натуральными или целыми числами?

[Alidoro]

В таком случае особой разницы нет. Доказательство будет такое же. Примите, что натуральные.

[tvims]

Спасибо за помощь.