[miss inconstancy]

Здравствуйте! Проверьте, пожалуйста, задачи по теории вероятностей!

1. Сколько можно составить комплектов по 8 карт из колоды в 36 карт так, чтобы среди них было 2 дамы?

решение

Сложная комбинаторная задача. У нас есть два множества: А - 32 карты без дам, В - 4 дамы.
1) количество способов выбора 6 карт из А = число сочетаний из 32 по 6 = 906192
2) количество способов выбора 2 карт из В = число сочетаний из 4 по 2 = 6
Воспользуемся принципом суммы, т.к. выбор карты из В не зависит от выбора карты из А: 906192 + 6 = 906198

Больше всего сомневаюсь по части принципа суммы. Может, все-таки то, какие будут дамы, зависит от тех 6 карт?


2. Сколько различных наборов по 3 книги можно составить из 10 томного собрания писателя А, 6 томного собрания писателя В, 12 томного собрания писателя С, если в наборе должно быть по одной книге каждого писателя?

решение

Сложная комбинаторная задача. Три множества: А, В, С.
1) количество способов выбора 1 книги из 10 = 10
2) количество способов выбора 1 книги из 6 = 6
3) количество способов выбора 1 книги из 12 = 12
Воспользуемся принципом произведения, т.к. от выбора книги из одного множества зависит выбор книг из остальных: 10*6*12 = 720


3. Из букв слова КОЛОКОЛ, написанных на кубиках, случайно составляется слово. Какова вероятность того, что получится слово КОЛКОЛО?

решение

А - случайно составленное слово - КОЛКОЛО. Р(А) = m/n.
m = 1. Чтобы найти n, решим простую комбинаторную задачу:
n = P₇ = 7!/(2!* 3! *2!) = 210 - количество перестановок с повторением данного состава
Р(А) = 1/210 = 0,005


4. Вероятность попадания в цель при одном испытании равна 0,4. По цели производится 8 независимых выстрелов. Найдите вероятность того, что в цели окажется больше 6 пробоин.

решение

Схема Бернулли.
n=8, p=0,4, q=0,6, а=6, b=8
Интервал [a,b] содержит всего 3 точки => воспользуемся формулой
n<10 => воспользуемся формулой Бернулли:

P_6,8 = 0,041
Р_7,8 = 0,008
Р_8,8 = 0,001

Р(6<=m<=8) = 0,05


5. Из полной игры домино (28 костей) по одной без возвращения выбирают 3 кости. Какова вероятность того, что при этом появится последовательно два не дубля и один дубль.

решение

А - 1я кость не дубль, В - 2я кость не дубль, С - 3я кость - дубль.
D - выбрали "не дубль - не дубль - дубль".
A, В, С - зависимые события.
Р(D) = Р(А) *Р(В/А)*Р(С/АВ) = 21/28 * 20/27 * 7/26 = 0,15

@темы: Теория вероятностей, Комбинаторика

Comments

[Диана Шипилова]

Воспользуемся принципом суммы, т.к. выбор карты из В не зависит от выбора карты из А:

При независимых событиях используется правило произведения. Мы выбираем 6 карт из А И 2 карты из В. Было бы ИЛИ — тогда правило суммы.

[Trotill]

> Воспользуемся принципом суммы, т.к. выбор карты из В не зависит от выбора карты из А: 906192 + 6 = 906198

Это означает "выбрать все наборы без дам из 6 карт или наборы из двух любых дам". А в задаче нужно выбрать наборы из 8 карт. Каждому набору из первой стопки можно присоединить любую комбинацию из второго множества. Это произведение.

[Диана Шипилова]

Воспользуемся принципом произведения, т.к. от выбора книги из одного множества зависит выбор книг из остальных: 10*6*12 = 720

Решение верное, обоснование — нет. Все выборы совершенно независимы.

Остальное, кажется, верно. Счёт не проверяла.

[miss inconstancy]

Диана Шипилова, я, честно говоря, постоянно путаюсь. нужно смотреть именно на предлог?
но тогда в первой задаче получается огромное число. это правдоподобно?

[Диана Шипилова]

но тогда в первой задаче получается огромное число. это правдоподобно?

Для сравнения найдите, сколько всего способов взять 8 карт из 36. Если полученное вами число больше — это явно неправдоподобно

[Trotill]

> но тогда в первой задаче получается огромное число. это правдоподобно?

А вы подсчитайте, сколько будет любых комплектов из 8 карт, то есть C(36,8) - оно будет еще больше.

[Trotill]

Диана Шипилова )))))))

[miss inconstancy]

я поняла, почему произведение, а не сумма. только как это грамотно обосновать?

[Trotill]

Грамотное обоснование содержится в учебнике, когда рассказывают про правило произведения.
На пальцах это можно рассказать так.
Пусть есть два множества независимых наборов N и M.
Требуется получить склеенный набор. Каждому набору из первой стопки можно присоединить любую комбинацию из второго множества, и каждый раз будем получать разные наборы.
Таким образом общее кол-во 1*M + 1*M + ... = (1+1+...+1)*M = N*M

[miss inconstancy]

ага! С(36,8) = 30260340. а в задаче всего-то 5437152 =)

[~ghost]

Всем доброго времени суток.
Trotill, Диана Шипилова, здравствуйте) и извините за вмешательство)

miss inconstancy
2-ая: верно, только не пишите, что "от выбора книги одного писателя зависит выбор книги другого" ( как раз не зависит);

4-ая: в условии вроде больше 6-и пробоин (т.е. именно 6 Вас "не устраивает" - только 7 или 8 ); и округляете, наверное, слишком грубо (для таких цифр)

[miss inconstancy]

Trotill, Диана Шипилова, спасибо! больше не запутаюсь =))

[miss inconstancy]

~ghost, о! спасибо!! действительно больше! уберу для 6ки))