Здравствуйте дамы и господа!

[boris.petrovich]

Здравствуйте дамы и господа!

Не получается разобраться с односторонними пределами.
Если же выражаться точнее, то на графике я все четко вижу и понимаю,
а когда дело доходит до вычислений на бумаге, то наступает конкретный ступор...

Итак, объясню то, что я не понимаю на примере задачи которую я "решил" только графически.

Условие: Дана функция `y=(x-4)/(x^2+x-20)` и два значения аргумента `x_1=4, x_2=-5`

Требуется:
1. Сделать схематический чертеж в окрестности точек `x_1` и `x_2`
2. Найти значение функции при стремлении аргумента к каждому из данных значений x
3. Определить является ли данная функция непрерывной или разрывной при данных значениях x

1.Чертеж:

На построенном графике все прекрасно видно (без вычислений, исходя из анализа графика) что:

а1) левосторонний предел точки `x_1=4` равен минус бесконечности`lim_(x->4-0)=-infty`
так как `Y` постепенно, сверху вниз, приближается к отметке `0,1` при изменении точности `X` от `3,9` до `3,9999999999`

а2) правостороний предел точки `x_1=4` равен плюс бесконечности`lim_(x->4+0)=+infty`
так как `Y` постепенно, снизу вверх, приближается к отметке `0,1` при изменении точности `X` от `4,1` до `4,0000000001`


Вывод по точке `x_1=4` такой: я возможно неправильно определил левый и правый пределы, т.к. немного не ясно, чему же все таки равен `Y`, при `X` который стремится к `4`, так как функция не определена в этой точке, и нельзя это точно выявить, т.к. это очень малое неопределенное число. Еще, можно сказать, что левый и правый пределы не могут стремится к нулю, т.к. при большой точности левого и правого значения они не могут "перепрыгнуть" порог в `0,1`


б1) левосторонний предел точки `x_2=-5` равен минус бесконечности`lim_(x->-5-0)=-infty`
так как это очевидно по движению `Y` вниз на графике

б1) правосторонний предел точки `x_2=-5` равен плюс бесконечности`lim_(x->-5+0)=+infty`
так как это очевидно по движению `Y` вверх на графике


Вывод по точке `x_2=-5` такой: в определении этих пределов я уверен на 100%, так как движение `Y` отчетливо видно по графику

По сути задача уже РЕШЕНА, и можно сказать, что точки `x_1, x_2` это точки разрыва второго рода. НО.
Самое интересное начинается когда я пытаюсь решить эту задачу, без построения графика.

a1) `lim_(x->4-0)(x-4)/(x^2+x-20)=(4-4)/(16+4-20)=(-0)/(-0)`
исходя из того что получилось, можно сказать что -0 деленное на -0 в итоге дадут нам положительный знак, тоесть
правосторонний предел равен `+infty` ИЛИ Я НЕ ПРАВ? Я знаю что не прав, т.к. это противоречит нашему анализу графика выше!


a2) `lim_(x->4+0)(x-4)/(x^2+x-20)=(4-4)/(16+4-20)=(+0)/(+0)`
исходя из того что получилось, можно сказать что +0 деленное на +0 в итоге дадут нам то, что
левосторонний предел равен `+infty` ИЛИ Я НЕ ПРАВ? по сути тут я прав, так как с анализом графика это совпадает

И еще мне непонятен вопрос, откуда берутся `-infty` и `+infty`, если в делении у нас участвуют НУЛИ, и во многих примерах я видел тоже самое. Хотя на самом деле мне известно что +Ноль и -Ноль это обозначение левого и правого пределов, все равно непонятно, как оно "превращается" в бесконечность

Далее:
б1) `lim_(x->-5-0)(x-4)/(x^2+x-20)=(-5-4)/(25-5-20)=(-9)/(-0)=+infty`
исходя из того что получилось, можно сказать что отрицательное число деленное на -0 в итоге дадут нам то, что
левосторонний предел равен какой то положительной бесконечности, т.к. `минус` `на` `минус` дадут нам `плюс`.
ИЛИ Я НЕ ПРАВ? я не прав, потому как с графиком это не сходится

б1) `lim_(x->-5+0)(x-4)/(x^2+x-20)=(-5-4)/(25-5-20)=(-9)/(+0)=-infty`
исходя из того что получилось, можно сказать что отрицательное число деленное на +0 в итоге дадут нам то, что
правосторонний предел равен какой то отрицательной бесконечности, т.к. `минус` `на` `плюс` дадут нам `минус`.
ИЛИ Я НЕ ПРАВ? я не прав, потому как с графиком это опять же не сходится!

Пожалуйста помогите мне в этом разобраться, два дня уже пытаюсь это понять, и все никак не доходит...
Спасибо

@темы: Математический анализ, Пределы

Comments

[Гость]

Разложите знаменатель на множители. Тогда многое будет понятнее.

[Вилл в носочках]

Так нельзя писать: (+0)/(+0) - это неопределенность! Это не значит, что предел будет бесконечность!
Если вы перевернете дробь, например, z=(x^2+x-20)/(x-4), то, следуя вашим рассуждениям, при x->4 тоже будет (+0)/(+0). Но на самом деле, если правильно с этой неопределенностью разобраться, предел z при x->4 = 9.
Или возьмем f=(x-1)/(x-1). при x->1 вы снова получите ваши (+0)/(+0) . Но данная фунция f тождественно равна 1. Так что и при х=1, она тоже будет единицей.

А как правильно искать предел - вам Гость, сказал уже

[boris.petrovich]

"Разложите знаменатель на множители. Тогда многое будет понятнее."

разложил, понятно только то, что точки разрыва, это корни квадратного уравнения стоящего в знаменателе:

`(x+5)(x-4)`

[Вилл в носочках]

boris.petrovich, (x-4)/((x+5)(x-4)) =???

[Вилл в носочках]

я что-то туплю сегодня немного ))
boris.petrovich, для точки x=4 у вас даже на графике нет никакого разрыва.

а1) левосторонний предел точки `x_1=4` не равен минус бесконечности.
бесконечность была бы, если бы при изменении точности `X` от `3,9` до `3,9999999999`, `Y` улетала бы на бесконечность вверх, или вниз.
аналогично а2)

разрыв есть для точки x=-5, если по графику смотреть.

[boris.petrovich]

аааа, забыл про знаменатель )) тогда будет `1/(x-5)`

тогда при `x_1=4`
предел слева `lim_(x->4-0)=1/-1=-1`
предел справа тоже `lim_(x->4+0)=1/-1=-1`

при `x_2=-5`
предел слева `lim_(x->-5-0)=1/-10=-0,1`
предел справа тоже `lim_(x->-5+0)=1/-10=-0,1`

только я теперь еще больше запутался )))

[Вилл в носочках]

boris.petrovich, я опечаталсь, там `1/(x+5)`, извините)

[boris.petrovich]

"для точки x=4 у вас даже на графике нет никакого разрыва."

но значения по Y то ведь нет для этого X....почему так...

[Гость]

В точке x=4 у Вас устранимый разрыв, так как односторонние пределы равны. Т.е. значение функции в этой точке может быть доопределено предельным значением и функция станет непрерывной в этой точке.
А в точке x=5 разрыв второго рода.

[Вилл в носочках]

boris.petrovich, туплю-туплю) разрыв есть, но устранимый. тут определения есть
пойду кофе попью, может проснусь наконец)))

и пример с f=(x-1)/(x-1) тогда не совсем корректен.. f не тождественно равна 1: в точке x=1 пределы =1, но значение f неопределено

[boris.petrovich]

тогда будет `1/(x+5)`

тогда при `x_1=4`
предел слева `lim_(x->4-0)=1/(4+5)=1/9`
предел справа тоже `lim_(x->4+0)=1/(4+5)=1/9` = это как раз и есть это число `0,111111111111111111111111111111`

при `x_2=-5`
предел слева `lim_(x->-5-0)=1/(-5+5)=0`
предел справа тоже `lim_(x->-5+0)=1/(-5+5)=0`

[boris.petrovich]

Гость, " В точке x=4 у Вас устранимый разрыв, так как односторонние пределы равны."

Вы об этом?
`1/9=1/9`

"А в точке x=5 разрыв второго рода"

но у нас же там нули получились

[Вилл в носочках]

boris.petrovich, "но у нас же там нули получились"
нет, вы там ошиблись.

предел слева lim_(x->-5-0) 1/(x+5) = 1/(-5+5)= -inf (вы делите конечное число 1 на бесконечно малую отрицательную величину)

[boris.petrovich]

Вилл в носочках, вот опять же вы дали ссылку на страницу там есть пример номер 1:

там есть такая строчка `3^(-1/-0)=3^infty` - вот как ее расшифровывать, что -0 это неопределенность слева или то что это какие то числа слева по порядку "идущие" в сторону числа -1.

[boris.petrovich]

Вилл в носочках, предел слева lim_(x->-5-0)=1/(-5+5)= -inf (вы делите конечное число 1 на бесконечно малую отрицательную величину)

значит -0 и +0 соответственно - бесконечно малая величина, и бесконечно большая величина тоесть отсюда следует что

при `x_2=-5`
предел слева `lim_(x->-5-0)=1/(-5-5)=1/(-0)=-infty`
предел справа `lim_(x->-5-0)=1/(-5-5)=1/(+0)=+infty`

так?

[Гость]

Вы об этом?

Да.
В точке x=-5 один предел равен `+oo`, а второй `-oo`

[Вилл в носочках]

boris.petrovich,
там x стремилось к единице слева, то есть x<1, поэтому для всех таких x: x^2 - 1 < 0, поэтому там -0, то есть стремление к 0 слева.

Теперь, неопределенность - это (0/0), или (inf/inf) или (0*inf).
Если у нас есть k - конечное число, не равное нулю, то, грубо говоря, (k/0)=inf, (0/k)=0, (k/inf) = 0, (inf/k) = inf , (k*0)=0, (k*inf)=inf

[Вилл в носочках]

boris.petrovich, "-" и "+" обозначают стремление к чему-л. соответственно слева (то есть ваша функия < этого чего-то), и справа (ваша фунцкия > этого чего-то).
"значит -0 и +0 соответственно - бесконечно малая величина, и бесконечно большая величина "
бесконено большая - это, грубо говоря, +- inf

Про бесконечно малые и бесконечно большие

Но пределы вы верно посчитали.

[Вилл в носочках]

Чтобы более понятной была запись лучше вот так писать

предел слева `lim_(x->-5-0) 1/(x+5) = 1/(-5-0 + 5)=1/(-0)=-infty`
предел справа `lim_(x->-5+0) 1/(x+5) = 1/(-5+0 +5)=1/(+0)=+infty`

upd: и вот вы писали: "-0 это неопределенность слева или то что это какие то числа слева по порядку "идущие" в сторону числа -1."
это второе - " какие то числа слева по порядку "идущие" в сторону числа -1".
а про неопределенность я выше писала.

надеюсь, хоть что-нибудь понятно.. )

[boris.petrovich]

всем спасибо. наконец-то дошло. я очень рад должен буду

[boris.petrovich]

а еще вопрос, решить эту задачу без разложения на множители нереально да? как я понял...

[Вилл в носочках]

boris.petrovich, разложить на множетели - это вообще один из методов нахождения таких пределов, когда у вас неопределенность 0/0 или inf/inf. В нашем случае, это самое простое, что можно сделать. Можно было еще, например, правилом Лопиталя воспользоваться (когда предел при x->4 ищем), но это уже сами себе жизнь усложняем)
Для x->-5 в нашем случае можно было бы и не раскладывать на множители - в числителе-то не ноль. Но при разложении все равно понятнее становится.

[boris.petrovich]

"В точке x=4 у Вас устранимый разрыв, так как односторонние пределы равны. Т.е. значение функции в этой точке может быть доопределено предельным значением и функция станет непрерывной в этой точке."

КАК это будет выглядеть на графике?

так:
---\/---
3--4--5

или так
--------
3--4--5

[Гость]

На графике такую точку обычно обозначают либо двумя стрелками, направленными к точке, либо кружочком вокруг точки.

[boris.petrovich]

Вилл в носочках, разложить на множетели - это вообще один из методов нахождения таких пределов, когда у вас неопределенность 0/0 или inf/inf. В нашем случае, это самое простое, что можно сделать. Можно было еще, например, правилом Лопиталя воспользоваться, но это уже сами себе жизнь усложняем)

да я знал об этом, но я не думал что эти правила нужно применять для нахождения левого и правого предела точки, думал что достаточно будет только подставить значения точек без разложения, только вы меня направили на путь истинный )) спасибо ))

[boris.petrovich]

Гость, благодарю

[Вилл в носочках]

boris.petrovich, эмм я не очень поняла, что вы имели в виду. Предел справа, предел слева - это все равно пределы. И мы ищем эти пределы как и обычно ищем предел))
Пожалуйста

[boris.petrovich]

Вилл в носочках, да сейчас я уже понял что затупил, в том смысле я имел ввиду, что их нужно применять если мы ищем только пределы такого рода где нет плюс нуля или минус нуля в записи пределов в нижней строчке

[Гость]

lim n стремится к бесконечности ((n+2)^4-(n+2)^4)/((n+5)^2+(n-5)^2)

[VEk]

Гость, это чужой топик. Новая задача в новом топике.
Предел записан с какой-то ошибкой, поскольку здесь ответ 0 (числитель всегда равен нулю).