[мой оверкиль]

Найти предел последовательности '(2^n)/n!'

От меня требуют расписать так, чтобы ответ был очевиден, а не просто "угадать" ответ

как расписать можно?

@темы: Пределы

Comments

[Trotil]

А, какой ответ, и главное, по-вашему, почему он такой, вы понимаете?

[мой оверкиль]

Trotil, я думаю что ноль, тк числитель увеличивается медленнее знаменателя

[Rus-Kira]

`n!>3^n`

[мой оверкиль]

Rus-Kira, ии? у меня 2^n, и я тоже предполагаю, что факториал больше
просто я думаю, можно ли как-нибудь расписать

[Trotil]

Угу.
Теперь это предположение нужно оформить математическим языком.

(2/1) * (2/2) * (2/3) * (2/4) * ... (2/n) - понятно, что множитель, стремится к нулю и, следовательно, всё произведение тоже.

Теперь это надо записать на языке эпсилон-дельта. То есть надо показать, что (2^n)/n! является бесконечно малой.

[ (2/1) * (2/2) * (2/3) * (2/4) * ... * (2/(n-1))] * (2/n) = m * (2/n) - в пределе произведение ограниченного числа на бесконечно малую.

Если собрать эти сведения и аккуратно подставить их в определение предела последовательности, то окажется, что по определению пределом будет 0.

Rus-Kira тоже неплохой способ подсказывает.

[Alidoro]

Может быть так очевиднее?
`2/1*2/2*...*2/n`
Переход к очередному члену означает умножения на все меньший и меньший множитель.

[Rus-Kira]

мой оверкиль, ну как бы из этого следует, что `2^n/(n!)<(2/3)^n` а последнее к нулю сходится

[мой оверкиль]

Trotil, Alidoro, Rus-Kira, спасибо