Добрый вечер!
Помогите, пожалуйста, с задачей:
Нужно найти размерность и базис линейных подпространств, натянутых на следующие системы векторов:
a1=(1,1,1,1,0),
a2=(1,1,-1,-1,-1),
a3=(2,2,0,0,-1),
a4=(1,1,5,5,2),
a5=(1,-1,-1,0,0).
В ответе дано, что размерность равна 3, а базис образуют,например,векторы a1,a2,a5 Но как они к этому пришли мне не понятно
Я пришел к такой матрице:
Помогите, пожалуйста, с задачей:
Нужно найти размерность и базис линейных подпространств, натянутых на следующие системы векторов:
a1=(1,1,1,1,0),
a2=(1,1,-1,-1,-1),
a3=(2,2,0,0,-1),
a4=(1,1,5,5,2),
a5=(1,-1,-1,0,0).
В ответе дано, что размерность равна 3, а базис образуют,например,векторы a1,a2,a5 Но как они к этому пришли мне не понятно
Я пришел к такой матрице:
-
-
21.11.2011 в 22:19А если меняли строки (что, судя по тому, что первые три вектора не образуют ЛНЗ систему, так и есть), то базисные те, которыми являются первые три строки по началу (до перемещений).
-
-
21.11.2011 в 22:23Столбцы, на которых расположена ступенька (первый элемент в строке, который не равен нулю), будут образовывать максимальную линейно независимую подсистему, то есть базис То же можно будет сказать и о соответствующих этим столбцам исходных векторах.((с)Alidoro)
-
-
21.11.2011 в 22:24-
-
21.11.2011 в 22:27вот,тут ранг как раз равен 3:
или так нельзя матрицу оставлять?
-
-
21.11.2011 в 22:29Так: a1,a2,a3,a4,a5
Или так:
a1
a2
a3
a4
a5
?
-
-
21.11.2011 в 22:33-
-
21.11.2011 в 22:401 0 0 0 0
x 1 0 0 0
x x 1 0 0
x x x 1 0
x x x x 1
или т.п. В результате те столбцы, которые не обнулятся, и будут образовывать базис.
-
-
21.11.2011 в 22:42-
-
21.11.2011 в 22:46Использовать строчечные преобразования, а затем равенство рангов.
Пишет Alidoro:
Составьте матрицу, расположив исходные вектора в качестве ее столбцов. Приводя к ступенчатому виду вы будете оперировать со строками и соответствие исходных векторов столбцам не будет нарушаться. После приведения к ступенчатому виду столбцы, на котором расположена ступенька (первый элемент в строке, который не равен нулю), будут образовывать максимальную линейно независимую подсистему. То же можно будет сказать и о соответствующих этим столбцам исходных векторах. Это можно объяснить тем, что любая линейная комбинация столбцов при элементарном преобразовании строк не может из нулевой стать ненулевой и наоборот.
-
-
21.11.2011 в 22:48что теперь нужно переделать, скажите, пожалуйста
-
-
21.11.2011 в 22:50например, у нас сначала матрица была (a1,a2,a3,a4,a5), а в результате преобразования оказалось, что нам надо поменять местами столбцы 3 и 5, тогда фиксируем, что теперь мы уже рассматриваем матрицу, полученную из матрицы (a1,a2,a5,a4,a3). Чтобы не взять в итоге не те вектора.
-
-
21.11.2011 в 22:53что теперь нужно переделать, скажите, пожалуйста
Ничего.
Вы записали матрицу, столбцами которой являются данные векторы
С помощью элементарных преобразований строк привели ее к ступенчатому виду. (я говорю про самый первый Ваш рисунок)
Далее, что я писала выше:
Столбцовый ранг матрицы равен строчечному, а количество ненулевых строк ступ. матрицы (у нас их три ненулевых) дает ранг системы векторов и, соответственно, размерность пр-ва, натянутого на эти векторы.
Столбцы, на которых расположена ступенька (первый элемент в строке, который не равен нулю), будут образовывать максимальную линейно независимую подсистему, то есть базис То же можно будет сказать и о соответствующих этим столбцам исходных векторах.((с)Alidoro)
У нас это 1,2,5
Значит , базис `a_1`,`a_2`,`a_5`
Я сама всегда делала как alprobyte (если записывала векторы столбцами)
Но вот у Алидоро все проще.
-
-
21.11.2011 в 22:58-
-
21.11.2011 в 23:00-
-
21.11.2011 в 23:02