Центр и радиус круга

[Merhaba]

Доброе Утро!!! Помогите Пожалуйста найти центр и радиус круга, вписанного в равнобедренный треугольник с боковыми сторонами 7x - y - 9 = 0, x + y - 7 = 0 и точкой M(3,-8) на основании.

@темы: Аналитическая геометрия

Comments

Пусть A — вершина, являющаяся пересечением боковых ребер. Найти ее координаты можно.
Можно положить, что вершины `B(x_B,y_B), C(x_C,y_C)` имеют указанные координаты.
Можно найти уравнение стороны BC, потом в это уравнение подставить координаты точки M (ведь она должна лежать на ней). Получили первое уравнение.
Также должны выполняться соотношения `rho(A,B)=rho(A,C), rho(B,M)=rho(CM), vec(MB)+vec(MC)=1/2*vec(BC)` (vec — это вектор).

Четыре неизвестных, пять уравнений.

Если удастся их решить, т.е. найти координаты вершин, то можно найти две любые биссектрисы и их пересечение — центр вписанной окружности. Либо центр можно найти так: пусть центр имеет координаты `O(x_O,y_O)`. Для него должны выполняться соотношения `rho(O,AB)=rho(O,BC)=rho(O,AC)` — два уравнения, два неизвестных.

[к.черный]

Найти точку пересечения данных прямых -

Пусть A

,
написать уравнение биссектрисы угла А,
написать уравнение прямой, проходящей через точку

M(3,-8)

перпендикулярно построенной биссктрисе,
Нати точки пересечения прямой с данными в условии прямыми,
написать уравнение еще одной биссектрисы, найти точку пересечения биссектрис

Может, можно упростить дзадачу, используя следующее:
У нас равнобедренный треугольник, а следовательно, высота, опущенная из `A`, является биссектрисой и медианой, т.е. `AM _|_ BC` (перпендикулярны), а значит, можно найти вектор, ортогональный вектору `AM`, т.е. можно найти направляющий вектор `BC` в явяном виде (не зависящий ни от каких параметров).
Также AM является первой биссектрисой, остается найти еще одну. Уравнение стороны BC можно построить лишь на предположении, что известная одна из точек B или C (положить координаты одной из них какими-нибудь параметрами), а не сразу обеих. Уравнение третьей вершины можно уже выразить через пересечение сторон, если эта вершина нужна (например, для нахождения точных координат точки B, используя какие-нибудь из написанных выше уравнений). В общем, пробуйте.

[к.черный]

про уравнение биссектрисы можно почитать здесь Типовой расчет по треугольнику на плоскости

А, точно, уравнение BC можно даже сразу явно найти с помощью опять же точки M. -)

[к.черный]

А, точка M же не середина, черт. -_-
В общем, я чушь написал.