[_ТошА_]

Попалась сегодня интересная задачка, и сразу как-то не поддалась. Может вы что скажете?
Существуют ли такие `m, n, u, v in ZZ`, что `m*n = 2010!` и `m*u^2 - n*v^2 = 2011`?

@темы: Теория чисел

Comments

[TAJlOS]

может так сойдет...
`m*u^2-n*v^2=2011`
`(sqrt(m)*u-sqrt(n)*v)(sqrt(m)*u+sqrt(n)*v)=2011` т к 2011-простое число то либо первый множитель равен 1, а второй 2011, либо второй 1, а первый 2011
, но т к второй множитель не может быть равен 1 т к `m,n,u,v``in``Z`, то остается рассмотреть систему:
`{(sqrt(m)*u-sqrt(n)*v=1),(sqrt(m)*u+sqrt(n)*v=2011):}`
откуда получаем , что `sqrt(m)*u=1006` у `1006` есть 4 натуральных делителя `1,2,503,1006` дальше подставляя любые 2 пары за место `m` и `u`
получаем нечто похожее для `v` (я рассматривал все случаи : m=503^2,u=2; m=4,u=503; m=1006^2,u=1; m=1,u=1006), в данном случаем можно выбрать первую пару:
`{(n=2010!/503^2),(1006^2-n*v^2=2011):}`
откуда получаем : `v=sqrt(((1006*503)^2-2011*503^2)/2010!)` очевидно что `v``notin``Z``=>` корней нет