Консультация по 3-м пределам

[Gilmore]

Здравствуйте, решил 2 из 3х пределов, сверьте и помогите с 3-им

1) BB = + бесконечность
lim [x -> BB] (sqrt(n^2 - n +2) - n)
умножаем на сопряженное [(sqrt(n^2 -n +2) + n] / [(sqrt(n^2 -n +2) + n], получаем
= lim [x -> BB] ([n^2 - n +2 - n^2] / [(sqrt(n^2 -n +2) + n]) = lim [x -> BB] ([-n + 2] / [(sqrt(n^2 -n +2) + n])
Берем высшие степени числителя и знаменателя, получаем = - 1/2

2) lim [x -> 0] ([1 - sqrt(1 + sin(4x))] / x)
первый вариант решения у меня такой
a) умножаем на сопряженное [1 + sqrt(1 + sin(4x))], получаем
= lim [x -> 0] ([1 - (1 + sin(4x))] / [x (1 + sqrt(1 + sin(4x)))]
далее sin(4x) -> 4x
= lim [x -> 0] ([1 - 1 - 4x] / [x (1 + sqrt(1 + 4x))] = lim [x -> 0] ( -4 / [1 + sqrt( 1 + 4x)]) = -4 / 2 = -2

b) умножаем на сопряженное [1 + sqrt(1 + sin(4x))], получаем
= lim [x -> 0] ([1 - (1 + sin(4x))] / [x (1 + sqrt(1 + sin(4x)))] = lim [x -> 0] ([-sin(4x))] / [x (1 + sqrt(1 + sin(4x)))]
только sin(4x) мы не переводим в 4x, зато есть 1-ый замечательный предел sin(4x) / (4x/4)

вообщем мне тут объясните как лучше решать, кое-где проверил и узнал, что ответ -2, то бишь вариант a правильный,

3) lim [x -> 0] (cosx - sinx)^ctx(x)
тут не знаю как сделать вид (1 - 1/a)^a, трудность именно в 1 - 1/a
есть вариант cosx = 1 сделать и прыгать от этого, но ответ в конце в любых способах у меня получается просто e, а там вроде 1/e

@темы: Математический анализ, Пределы

Comments

[Gilmore]

3) хотяяяя
lim [x -> 0] (cosx - sinx)^ctx(x) = lim [x -> 0] (1 - sinx)^ctx(x) = lim [x -> 0] ( 1 + 1/[(-1)*(sinx)^(-1)] )
степень отдельно напишу, чтоб сумбура не было тут )
^ ( [(-1)*(sinx)^(-1)] , которую домножаем * ctx(x) * (1 / [(-1)*(sinx)^(-1)] )

ctx(x) = cosx / sinx
после чего получается = e ^ (lim [x -> 0] ( cosx / (sinx * [(-1)*(sinx)^(-1)]) = e ^ (lim [x -> 0] (-1 * cosx) = e ^ -1 = 1/e

[Gilmore]

ctx (x) = ctg (x) очепятался

[VEk]

1. Верно
2. Верно. Вы используете эквивалентность при `x->0` или первый замечательный предел.
3. Задача на второй замечательный предел. Но замена cosx на 1 в основании слишком смела. Проще записать основание так: 1+(-sinx-(1-cos)) , свести выражение ко второму замечательному, а потом, уже в показателе степени использовать эквивалентности. ответ , действительно, `e^(-1)`.

[Gilmore]

вот так ? нет ли там касяков? xD

[VEk]

Косяк есть. Надо заменить `1-cosx =2sin^2(x/2)`иначе у Вас там бесконечность - бесконечность.

[_ТошА_]

2) а вот на самом деле неверно. [1 - 1 - 4x] / [x (1 + sqrt(1 + 4x))
Вот тут на эквивалент можно заменять только если единицы уже уничтожены

[Gilmore]

В каком месте получится беск-беск, и не пойму почему лучше 2sin^2(x/2),
после 2-ого замечательного предела, в степени такая вещь (беск-беск) получится?

[VEk]

cosx/sinx при x->0 дает бесконечность. Следующее слагаемое тоже.

[Gilmore]

В таком случае в степени у меня будет
lim [x->0] ( -1 - (2sin^2(x/2))/sinx)
как правильно оформить, что эта дробь равна 0
использовать эквивалентности?

[VEk]

Можо использовать эквивалентность, можно расписать `sinx` как `sin 2 alpha`.

[Gilmore]

спасиб