Задание: В пространстве `V_3` геометрических векторов с обычным скалярным произведением векторы базиса `S_1 = {e_1, e_2, e_3}` заданы координатами в в базисе i, j, k.
`e_1 = (1, 0, 2)`
`e_2 = (1, 1, 1)`
`e_3 = (-1, 2, 0)`
1) Найдите матрицу Грама `G_1` скалярного произведения в этом базисе.
2) Ортонормируйте базис `S_1`. Сделайте проверку ортонормированности построенного базиса `S_2` двумя способами:
а) Выписав координаты векторов из `S_2` в каноническом базисе i, j, k.
б) Убедившись, что преобразование матрицы Грама при переходе от базиса `S_1` к `S_2` (по формуле `G_2 = P^TG_1P`, где P -- матрица перехода от `S_1` к `S_2`) приводит к единичной матрице.
Решение:
Матрица Грамма `G_1`:
`((5,3,-1),(3,3,1),(-1,1,5))`
Ортонормированный базис f (построил методом Грама-Шмидта):
`f_1 = e_1/sqrt(5)`
`f_2 = -sqrt(3/10) e_1 + sqrt(5/6) e_2`
`f_3 = sqrt(3/8) e_1 - sqrt(2/3) e_2 + sqrt(3/8) e_3`
Проверка по способу б получилась.
Не понимаю, что от меня хотят в способе а, я предположил, что надо векторы базиса `S_2` `(f_1, f_2, f_3)` перевести в базис `S_1`, а затем в базис (i, j, k);
переводил так:
`a_(s1) = P_(s1->s2) * f_(s2)`
`b_(i, j, k) = P_(i, j, k ->s1) * a_(s1)`
но в результате этого, вот уже в двух вариантах типового рассчёта у меня получились не нормированные и не ортогональные векторы, это наверное не правильно?
`e_1 = (1, 0, 2)`
`e_2 = (1, 1, 1)`
`e_3 = (-1, 2, 0)`
1) Найдите матрицу Грама `G_1` скалярного произведения в этом базисе.
2) Ортонормируйте базис `S_1`. Сделайте проверку ортонормированности построенного базиса `S_2` двумя способами:
а) Выписав координаты векторов из `S_2` в каноническом базисе i, j, k.
б) Убедившись, что преобразование матрицы Грама при переходе от базиса `S_1` к `S_2` (по формуле `G_2 = P^TG_1P`, где P -- матрица перехода от `S_1` к `S_2`) приводит к единичной матрице.
Решение:
Матрица Грамма `G_1`:
`((5,3,-1),(3,3,1),(-1,1,5))`
Ортонормированный базис f (построил методом Грама-Шмидта):
`f_1 = e_1/sqrt(5)`
`f_2 = -sqrt(3/10) e_1 + sqrt(5/6) e_2`
`f_3 = sqrt(3/8) e_1 - sqrt(2/3) e_2 + sqrt(3/8) e_3`
Проверка по способу б получилась.
Не понимаю, что от меня хотят в способе а, я предположил, что надо векторы базиса `S_2` `(f_1, f_2, f_3)` перевести в базис `S_1`, а затем в базис (i, j, k);
переводил так:
`a_(s1) = P_(s1->s2) * f_(s2)`
`b_(i, j, k) = P_(i, j, k ->s1) * a_(s1)`
но в результате этого, вот уже в двух вариантах типового рассчёта у меня получились не нормированные и не ортогональные векторы, это наверное не правильно?
-
-
23.08.2011 в 02:52Я обычно пользуюсь другим способом ортогонализации , во вском случае у меня сразу получаются вектора f_i заданы в координатах в системе i,j,k
То есть
e_1=(1;0;2)
f_1=e_1 (и пока не ортонормируем)
`f_2=e_1-k_1e_2`
Ищем k_1, чтобы `f_2` был ортогонален `f_1`
`(f_2,f_1)=(e_1,f_1)-k_1(e_2,f_1)`
Так как `f_1=e_1`, то
`0=5-k_1*3`
`k_1=5/3`
Тогда
`f_2=(1/3)(-2;-5;1)`
(если нормировать, то получим
`sqrt(1/30)(-2;-5;1)`
Ваш вектор `f_2` можно подсчитать просто подставив вместо e_1 и e_2 их координатные строки в базисе i;j;k
Получится вектор, отличающийся от моего знаком только
`f_2 = -sqrt(3/10) e_1 + sqrt(5/6) e_2= -sqrt(3/10)*(1;0;2) + sqrt(5/6)*(1;1;1)=-3/sqrt(30)*(1;0;2) + 5/sqrt(30)*(1;1;1)=1/sqrt(30)(2;5;-1)`
Если умножить его на e_1, то получим 0, и легкоп проверить, что f_2 единичной длины
Я думаю, что проверка способам а) у вас должна заключаться в том, что вы вот так должны найти ваши векторы f и проверить, что они, действительно, ортогональны векторам e_i и что они имеют длину 1.
Просто счетом.
-
-
23.08.2011 в 20:15`e_1 = (1, 0, 2)`
`e_2 = (1, 1, 1)`
`e_3 = (-1, 2, 0)`
в
`f_1 = e_1/sqrt(5)`
`f_2 = -sqrt(3/10) e_1 + sqrt(5/6) e_2`
`f_3 = sqrt(3/8) e_1 - sqrt(2/3) e_2 + sqrt(3/8) e_3`
-
-
24.08.2011 в 00:01