Зачётка по геометрии

[Phaust94]

1. Докажите, что хорда, соединяющая точки касания эллипса с двумя параллельными прямыми, проходит через центр кривой.
2. Найдите угол между асимптотами гиперболы, у которой расстояние между фокусами вдвое больше расстояния между директрисами `|pi/2`
3. Найдите уравнения нормалей к эллипсу `x^2/4+y^2/2=1` , образующих угол 45 градусов с его большей осью`|x+y=+-sqrt(2/3)` v `x-y=+-sqrt(2/3)`
4.Составьте уравнение семейств гипербол с общими фокусами `(+-c,0)``|x^2/t^2-y^2/(c^2-t^2)=1`, `t>0`,`t<c`
5. Докажите, что заданное уравнение `y^2-4xy-5x^2+5x-y=0` представляет собой пару прямых, найдите уравнения этих прямых.`|5x-y=0`v`x+y-1=0`
6. Найдите уравнение сферы, проходящей через окружность `x^2+y^2-11=0`,`z=0`и касающейся плоскости `x+y+z=5``|x^2+y^2+(z+4)^2=27` v `x^2+y^2+(z+1)^2=12`

7.Даны вершины эллипсоида `(8,0,0)`,`(-2,0,0)`. Найдите уравнение этого эллипсоида, зная, что плоскость `yOz` пересекает его по эллипсу `x=0`,`y^2/9+z^2/4=1``|(x-3)^2/25+16*y^2/225+4z^2/25=1`
с № 2 по 7 проверено
8.Найдите уравнения прямолинейных образующих параболоида `x^2/8-y^2/2=2z`, параллельных плоскости `6x+4y-8z+1=0``|{(3x-6y-16z=0),(x+2y-3=0):}` v `{(x-2y-5=0),(5x+10y-16z=0):}`
9.Ортогональным преобразованием приведите к каноническому виду уравнение поверхности `7x^2+6y^2+5z^2-4xy-4zy-6x-24y-16y+18z+30=0`.Найдите формулы преобразования координат
10.Найти уравнение круглого цилиндра радиуса 3 с осью `x=y=z``|x^2+y^2+z^2-xy-xz-yz=27/2`проверено
Решения буду выкладывать в режиме "Онлайн", т.е. решаю сейчас. Вы не могли бы проверить меня?

==
Задачи 1, 8, 9, 10 рекомендовано выложить отдельным топиком.
Сроки - по субботу ближайшую

запись создана: 09.05.2011 в 19:42

@темы: Аналитическая геометрия

Comments

[Phaust94]

№2. Решаем: `2c=2(2a/e)`=>`2a/e=c/a`=>`2a^2=c^2`=>`a^2=b^2`=> Асимптоты `y=+-x`=> Ответ - угол=`3pi/4-pi/4=pi/2`

[Phaust94]

№3:`xx_0/4+yy_0/2=1`<=>`xx_0+2yy_0=4` => `vec N={x_0;2y_0}` `vec N_0={1;0}` => `cos alpha={vec N, vecN_0}/(|vec N|*|vec N_0|)=x_0/(sqrt(x_0^2+4y_0^2))=sqrt(2)/2`=>`x_0^2=4y_0^2`=>`x_0^2/4+y_0^2/2=1`=>`3y_0^2=2`=>`y_0=+-sqrt(2/3)`=>`x_0=+-2*sqrt(2/3)`=> Ответ :`+-x+y=sqrt(6)`
где `{alpha,beta}`- скалярное произведение

[Phaust94]

№4: вроде что-то слишком легко, ответ: `x^2/t^2-y^2/(c^2-t^2)=1`,`t>0`,`t<c`

[Robot]

2) если в каноническом виде, то да.
3)тут вот что-то у вас с уравнениями.
Под углом между прямыми понимается острый угол между ними.
И если говорить о прямой у=0, то получается там четыре нормали
И на языке векторов - ведь мы не знаем куда направлен вектор нормали.
То есть надо либо редактировать, либо через угловые коэффициенты

[Phaust94]

3)тут вот что-то у вас с уравнениями.
Под углом между прямыми понимается острый угол между ними.
И если говорить о прямой у=0, то получается там четыре нормали
И на языке векторов - ведь мы не знаем куда направлен вектор нормали.
То есть надо либо редактировать, либо через угловые коэффициенты

там ошибочка... у главной оси вектор нормали - `{0;1}`
но тогда получается, что ответ всё равно тот же
я немного не понял, в чём же ошибка .... там модуль у скалярного произведения берётся, кстати!

[Robot]

Но вы же ищете угол между направляющим вектором нормали и направляющим вектором большой оси.
Я так вас поняла
Точки вроде правильно найдены
Только подставлять надо не в уравнения касательной, а в уравнения нормали

[Phaust94]

нормали - это касательные, так?
тогда я нашёл угол между нормальным вектором к касательной и между нормальным вектором к главной оси, а потом подставил точки в уравнение касательной.
что по поводу №4 ?
№5:`I_3=det{{-5,-2,5},{-2,1,-1},{5,-1,0}}=0`=>вырожденная
`5x^2+x(4y-5)-y^2+y=0`
`D=36y^2-60y+25=36(y-5/6)^2`=>`x=(5-4y+-(6y-5))/10`=>`10x=2y`<=>`5x-y=0`
или `x+y-1=0`

[Robot]

Phaust94 Откуда Вы взяли, что нормали это касательные?
Как раз есть касательные, а есть нормали.

[Robot]

Если провести касательную в точке `(x_0,y_0)`, то нормаль в этой точке - это перпендикуляр к касательной.

В вашем решении вы нашли уравнение двух из четырех касательных (если все же рассматривать углы между прямыми, а не угол, который образует нормаль с положительным направлением оси ОХ)

[Phaust94]

а, точно, я запутался... мы просто никогда не рассматривали нормали к квадрикам....
тогда ответ - `x-y=0` v `x+y=-sqrt(6)`
и по определению - угол между прямыми - это острый угол между их нормалями. нам так давали.

[Robot]

что-то вы совершенно неверно записали.
http://ru.wikipedia.org
Или же какой-нибудь учебник из тех, что рекомендовали

И куда вы так торопитесь..
сядьте и аккуратно разберитесь

[Phaust94]

ну определение у меня точно такое.
а ответы точно: `x+y=sqrt(6)` v `x-y=sqrt(2/3)`

[Robot]

Как хотите
Я вам говорю про 4 прямые - а у вас две в ответе
Вот рисунок для вашего эллипса и ваших прямых из ответа

Из них только одна является нормалью
Успеха!
Всего хорошего

[Phaust94]

я понял, в чём моя ошибка.
ответ:
`x+y=+-sqrt(2/3)` v `x-y=+-sqrt(2/3)`
а по поводу остальных задач?

[Phaust94]

в №5:` x^2+y^2+(z+4)^2=25` v `x^2+y^2+(z-1)^2=12`

[Phaust94]

#6: `(x-3)^2/25+16*y^2/225+4z^2/25=1`

[Robot]

4 и 5 (про пару прямых) вроде правильно

[Robot]

Вот понимаете, Вы даете ответы
Значит, чтобы вас проверить, я должна все задачи сама прорешивать
То есть фактически всю Вашу работу я должна целиком прорешать..


В общем, записывайте решения. Можно рисунком.

[Phaust94]

№7:
№8:и

[Phaust94]

№6: , и

[Phaust94]

№10:

[Robot]

В 6 у вас ответ в заглавном топике и здесь не совпадают
Потом 16+11=27
с=-1 и с=-4
С касательной плоскостью у вас не очень разобралась
делала так: расстояние от центра до касательной плоскости равно радиусу
==
укажите сроки
может быть к проверке подключится кто-то еще

[Phaust94]

подправил,спасибо, там 27 и (z+1)

А что за касательная плоскость ???

[Robot]

касающейся плоскости
по-другому вторую часть делала.

[Phaust94]

да, № 4 правильно ?? почему так слишком легко ?
№1: и

[Robot]

Я сказала уже где надо было подправить.

[Phaust94]

а, понятно. но ответ такой же получился?
П.С. в 1-м с точностью до знака.
П.П.С. я про семейство гипербол. я вроде пока везде всё исправил ,что Вы сказали. в заглавном топике исправил.

[Robot]

я первое не проверяла
Со 2 по 6 все так вроде

не поняла насчет точности до знака

И ваше решение 7 не поняла
Это вообще-то не решение
Это черновик
Вы же преподавателю такое показывать не будете.

Но уравнение вроде такое получается. если к нему применить начальные условия, то оно ему удовлетворяет.

[Phaust94]

я там просто в первом минус не дописал. но всё равно ноль получается, поэтому всё окей.
7 -вы про образующие или про эллипсоид ? у меня просто тут нумерация сбилась.

[Robot]

я смотрю на нумерацию в заглавном топике
Решения в 7 я не вижу, я могу только догадываться о нем, наполовину решая все сама
Повторяю, это черновики.