Поворот

[yonkis]

Дан равноведренный треугольник `ABC` с углом `B`, равным `120^@`

(рис)

. При некотором повороте точка `A` отображается на точку `B`, а точка `B` на точку `C`. Построить центр поворота.

помогите, с чего начать?

@темы: Планиметрия

Comments

Какова траектория движения точки при любом повороте?

[yonkis]

по окружности с радиусом, равным расстоянию от центра поворота до данной точки

Верно. Известно, что точка `A` при повороте отображается в `B`, а также можно утверждать, что точка `A` при бОльшем (более того, в два раза) повороте отображается в `C` (т.к. точка `B` отображается в точку `C`). Что же это будет за окружность?

[yonkis]

описанная около треугольника `ABC`?

Да.

[yonkis]

т.е. центр поворота - точка пересечения серединных перпендикуляров треугольника?

Да.

[yonkis]

спасибо, а как получше в решении объяснить, что центр поворота является центром описанной около треугольника `ABC` окружности?

Точка A при повороте отображается в точку B, одновременно с этим точка B отображается в точку C. Если будем поворачивать на тот же угол, только в другую сторону, то получим, что точка C отображается в B, а точка B — в точку A. Т.е. мы движемся по одной и той же траектории-окружности, проходящей через все вершины треугольника, что по определению описанной окружности является описанной окружностью. Как-то так. Это еще можно связать с равнобедренностью треугольника, но, по-моему, условий про отображения достаточно, а остальное для построения.

[yonkis]

понятно, а для чего нужен угол В, равный `120^@`?

[Robot]

Можно еще с самого начала сказать, что так как А переходит в В при повороте, то точки А и В находятся на одинаковом расстоянии от центра поворота О, а поэтому О лежит на серединном перпендикуляре к АВ
Аналогично В переходит в С, поэтому в и С находятся на одинаковом расстоянии от центра поворота О. Поэтому О лежит на серединном перпендикуляре к Вс.
Поэтому О - точка пересечения серед. перпендикуляров и , след, центр опис. окружности.

[yonkis]

спасибо!

yonkis,
угол для построения, первое, что бросается — центр за пределами треугольника, т.к. тупоугольный.