Дифференциальные уравнения второго порядка

[Аланника]

Здравствуйте еще раз! Посмотрите правильно ли я начала решать уравнение:
`y' '+y'-2y=6x^2`
Характеристическое уравнение: `k^2+k-2=0`
Комплексные корни `k_1=-2, k_2=1`
Общее решение однородного уравнения
`bary=e^(-2x)*(C_1*cosx+C_2*sinx)`

@темы: Дифференциальные уравнения

Comments

[Robot]

Нет, у вас не комплексно-сопряженные корни, а два различных действительных
www.ostu.ru/vzido/resurs/matem/marketing/2semes...
eek.diary.ru/p108239075.htm хорошие книги по ДУ (с примерами)

[Mr.Freedom]

Да тут еще бы не мешало понять, что такое комплексность корня)

[Аланника]

Да тут еще бы не мешало понять, что такое комплексность корня)

В этом и заключается "прелесть" заочного обучения...

Robot

Получаются корни `k_1=-3, k_2=2` Верно?

[Robot]

Аланника
Корни вами с самого начала были найдены верно
Вы заглянули по той ссылке, что я вам дала? Картинка оттуда
Вид общего решения зависит от того, какие у нас получаются корни


Выберите ваш случай

И начинайте читать литературу.

[Robot]

Если с комплексными числами ранее не встречались, то Полные курсы по высшей математике
Письменный Полный конспект
Лунгу, Письменный Сборник задач 1 курс (примеры)

Здесь вам это не нужно, но в дальнейшем может пригодиться.

[Аланника]

Он у меня уже есть , еще с прошлой сессии.
Литературу читаю, но... времени как всегда мало

[Аланника]

Вроде пошло решение, но снова застопорилась. Поглядите, в чем проблема?
Общее решение однородного уравнения: `bary=C_1*e^(-2x)+C_2*e^x`
Правая часть является полиномов второй степени. Поэтому ищем частное решение также в форме полинома второй степени: `y_ч=ax^2+bx+c`
`y_ч'=2ax+b`
`y_ч' '=2a`
Отсюда подставляем `y_ч`, `y_ч'` и `y_ч' '` в уравнение `y' '+y'-2y=6x^2`:
`2a+(2ax+b)-2(ax^2+bx+c)=6x^2`
`2ax^2+(2a-2b)x+(2a+b-2c)=6x^2`
Отсюда:
`2a=6; a=3`
`2a-2b=0; 6-2b=0; b=3`
`2a+b-2c=0; 6+3-2c=0; c=4,5` ??? а может быть не целое число?

[Robot]

Дробными могут быть, но у вас неправильно
Подставили вы правильно, а раскрыли и привели подобные неправильно, знаки зачем-то меняли.

http://www.wolframalpha.com/input/?i=y%27%27%2By%27-2y%3D6x^2

вставить в строку браузера и перйти

[Аланника]

Я потеряла минус перед `2a^2`. Тогда получается `a=-3, b=-3, c=-4,5`
`y_ч=-3x^2-3x-4,5`
`y=C_1e^(-2x)+C_2e^x-3x^2-3x-4,5`
`y'=-1/2*C_1e^(-2x)+C_2e^x-6x-3`

[Robot]

Последняя строка не нужна
вам надо найти y

[Аланника]

У меня задание идет дальше. Посмотрите больше нигде не напортачила?
Полагая, х=0 в полученных формулах и используя начальные условия (`y(0)=-4, y'(0)=-1`) для получения постоянных `C_1` и `C_2` получаем систему:
`C_1+C_2-4,5=-4`
`-1/2*C_1+C_2-3=-1`
`C_1+C_2=0,5`
`C_2-1/2*C_1=2`
Отсюда: `C_1=-5/8, C_2=9/8`
Подставляя в формулу `y` получаем:
`y=-5/8*e^(-2x)+9/8*e^x-3x^2-3x-4,5`

[Robot]

вольфрамальфа показывает

http://www.wolframalpha.com/input/?i=y%27%27%2By%27-2y%3D6x^2%2C+y%280%29%3D-4%2C+y%27%280%29%3D-1

вставить в строку браузера и перейти

у вас неправильно взята первая производная (в первом слагаемом)

[Аланника]

Одну ошибку нашла, дальше не вижу, а результат все равно не сходится. Посмотрите, пожалуйста:
`-4=c_1+C_2-9/2; c_1+C_2=9/2-4; c_1+C_2=1/2`
`-1=-1/2*C_1+C_2-3; C_2-1/2*C_1=3-1; C_2-1/2*C_1=2`
`C_1=1/2-C_2`
`C_2-1/2*(1/2-C_2)=2; C_2-1/4+(C_2)/2=2; 3/2*C_2=9/4; C_2=3/2`
`C_1=1/2-3/2=-1`

[Robot]

Чему равна производная от C1e^(-2x)
(производная сложной функции)

[Аланника]

то есть я еще в формуле `y'=C_1-1/2C_1*e^(-2x)+C_2e^x-6x-3`
`C_1` потеряла?

[Robot]

Давайте не спрашивать, что вы потеряли

назовите мне отдельно производную
C1e^(-2x)
C2e^x

[Аланника]

`C_1*(-e^(-2x)/2)`
`C_2*e^x`

[Robot]

И я выше сказала, что первая производная найдена неверно
`(C_1e^(-2x))'=C1_1*e^(-2x)*(-2x)'`
Производная сложной функции

[Robot]

Чему равно (-2x)'

[Аланника]

-2?

[Robot]

И целиком теперь вся производная С_1e^(-2x)
и вся производная y'

[Аланника]

`-2*C_1*e^(-2x)`
`y'=-2*C_1*e^(-2x)+C_2*e^x-6x-3`

[Аланника]

Спасибо!!!

[Robot]

Да
вот теперь делайте с этими данными