Дифференциальное исчисление

[Dana Liz]

Задание: В какой точке кривой y^2 = 2x^3 нормаль параллельна прямой 4x - 3y + 2 = 0 ?

Не могу разобраться с ходом решения
Сначала, вероятно, надо найти производную (х)' функции 4x - 3y + 2 = 0.
Там у меня получилось (х)' = 3/4

А вот что потом делать?
Найти производную (у)' функции y^2 = 2x^3 и подставить туда значение (х)' = 3/4 ? Это и будут координаты искомой точки?
Не могу нигде найти образца решения таких задач..

Заранее спасибо всем, кто ответит.

@темы: Производная, Касательная

Comments

Сначала, вероятно, надо найти производную (х)' функции 4x - 3y + 2 = 0.

Не надо.
У прямой существует такая вещь, как направляющий вектор. Каковы его координаты у данной прямой?

Затем у кривой нужно найти координаты вектора нормали в общем случае для любой точки кривой. Как находится нормаль кривой в некоторой точке? Формула какова? Помните, что кривая Вам задана неявно.

После чего, каково условие параллельности (корректнее, коллинеарности) двух векторов?

[Dana Liz]

Там непременно надо через производную. Тема такая..

Ну так координаты нормали через производную и находятся.

P.S. Дифференциальные уравнения (@тема) — это другой раздел, к данной задаче не имеет отношения.

[Dana Liz]

Координаты нормали к кривой y^2 = 2x^3
N (2; -6; 0)

Координаты направляющего вектора прямой 4x - 3y + 2 = 0
S (-5; 5; -5)

Вектора коллинеарны, если их координаты пропорциональны.

Получается :

2 / -5= -6 /5 = 0 / -5

Координаты нормали к кривой y^2 = 2x^3 N (2; -6; 0)

Нет. Координаты нормали не могут быть константами, т.к. кривая не является прямой. Координаты (необязательно все) должны зависеть от `x` и `y`

Координаты направляющего вектора прямой 4x - 3y + 2 = 0 S (-5; 5; -5)

Неверно. Как же Вы их вычисляли?

Кстати, а в условии точно говорится про нормаль, а не главную нормаль или бинормаль? Просто обычных нормалей в каждой точке кривой бесконечное число, хотя и в этом случае можно решить задачу. Просто в случае обычной нормали там добавится еще один параметр, принимающий значения от минус бесконечности до плюс бесконечности. Или, может, в задаче какое-то свое определение нормали? Каков источник задачи?

Эта формула

Вам о чем-нибудь говорит? Уравнение нормали для двумерного случая.

Полагаю, для трехмерного случая получится вот такое уравнение нормали:
`(X-x_0)/(((partial F(x_0))/(partial x)))=(Y-y_0)/(((partial F(y_0))/(partial y)))=(Z-z_0)/(((partial F(z_0))/(partial z)))`
Впрочем, из этого лишь важно, что `{((partial F(x_0))/(partial x)), ((partial F(y_0))/(partial y)), ((partial F(z_0))/(partial z))}` — координаты нормали к кривой, заданной в неявном виде `F(x,y,z)=0`.

[Dana Liz]

Эту формулу вижу впервые. Про главную нормаль и бинормаль тоже ничего никогда не слышала..
Задача из методички "Дифференциальное исчисление в случае одной и нескольких переменных" л., 1990. Там задание в точности, как я написала, больше ничего не сказано..

Там в примере разбирается задача: Какой угол образует с осью абсцисс касательная к заданной кривой в заданной точке. Для этого находится производная данной функции, а потом вместо х и у подставляются координаты заданной точки.
Но в моем случае этот пример ничем не помогает.

О цифры, у Вас же даны двумерная кривая и прямая... -)
Там нормаль только одна, вернее, две (лежат на одной прямой). Через частные производные. Т.е. первая координата равна частной производной по `x`, а вторая координата — частной производной по `y`.

Так как Вы находили координаты направляющего вектора прямой?

[Robot]

Может нам разбить кривую на две части и свести к функциям y=f(x)?

Robot,
а зачем? Быстрее же с частными производными, а потом решать систему уравнений.

[Гость]

Думаю. Что нужно действительно разбить функцию на две y=sqrt(2x^3) и y=-sqrt(2x^3) . Взять производные и приравнять их к -3/4. В данном случае считается, что нормаль - это перпендикуляр к касательной в данной точке кривой

[Dana Liz]

Так как Вы находили координаты направляющего вектора прямой?

обе части уравнения Ах + Ву + С = 0 разделила на нормирующий множитель (-1/5) , приведя к нормальному виду
и уже из нормального вида получились координаты S.

первая координата равна частной производной по `x`, а вторая координата — частной производной по `y`

ну вот я так и хотела... только запуталась, что откуда брать.
уравнения у нас два: кривая y^2 = 2x^3 и прямая 4x - 3y + 2 = 0

нашла производную (х)' функции 4x - 3y + 2 = 0. Получилось (х)' = 3/4
теперь ее надо подставить в производную по (у)' функции y^2 = 2x^3 ? И это получатся те самые искомые координаты?

Dana Liz,
прямая вида Ax+By+C=0 в качестве направляющего имеет вектор (A,B) (прямая двумерная, вектор тоже двумерный).

Про частные производные лучше забыть, там морочиться надо долго... Вам предложили вариант много лучше. -)
Т.е. разбить кривую на несколько. Прямую представить в обычно виде y=f(x), где будет выглядывать коэффициент наклона прямой. А нормаль кривой искать через обычную производную, от явно заданной функции... И решать уравнения.

И еще одно: если дан некий вектор `(a,b)`, то вектор, ортогональный ему, имеет, например, такие координаты: `(-b,a)`, т.к. их скалярное произведение равно нулю.
Т.е. можно найти не направляющий вектор прямой, а ее нормаль, чтобы в последствии можно было спокойно приравнять коэффициент наклона нормали прямой и касательной к функции (вместо искания нормали для функции и приравнивания ее коэффициента наклона к коэффициенту наклона направляющей прямой). Возможно, так полегче просто.
Ищем проиводную от каждой функции новых двух кривых `y(x)` и приравниваем к `4/3` (это можно было вывести и из тригонометрических соображений: `tg(pi/2+a)=-ctga`).

[Dana Liz]

зять производные и приравнять их к -3/4.

почему? у меня получилось 4/3
если находить производную прямой по игреку

Dana Liz,
прямая имеет вид `y=4/3 x +2`, тангенс угла наклона касательной равен `4/3`. У Вас найден коэффициент наклона нормали (перпендикуляр к касательной), о котором я понаписал недавно.
По замыслу Гостя, имелось в виду нахождение угла наклона касательной кривой и его приравнивания к коэффициенту наклона нормали прямой.

А нормаль перпендикулярна касательной к прямой, т.е. тангенс берет не от `alpha`, а от `alpha+pi/2`, что есть `-ctg alpha=-1/(tg(alpha))=-3/4`, следовательно, угол наклона нормали прямой к оси Ox равен `-3/4`.
Ведь нет никакой разницы, что приравнивать коэффициент наклона нормали кривой и коэффициент наклона касательной прямой или коэффициент наклона касательной кривой и коэффициент наклона нормали прямой. Это даст одно и то же — параллельность прямой и нормали кривой.

[Гость]

Dana Liz Если прямые паралельные, то значит угловой коэффициент нормали должен быть 4/3. Для того, чтобы эта нормаль была действительно нормалью)))) (проститите за простоту), то она должна быть перпендикулярна к касательной кривой в какой-то точке. Значит угловой коэффициент касательной должен равнятся -3/4. И теперь нужно отыскать точку функции, касательна в которой равняется -3/4. y=sqrt(2x^3) и y=-sqrt(2x^3). Первое уранение походу не имеет решения. А от второе имеет.

[Гость]

Там у меня угловой коэффициент касательной равнялся -3/4. Ну и производные надо взять и приравнять, а то я так написал быстро немного)))

[Гость]

Там у меня угловой коэффициент касательной равнялся -3/4. Ну и производные надо взять и приравнять, а то я так написал быстро немного)))

[Dana Liz]

О Господи...)
к чему же приравнивать: к угловому коэффициенту прямой или угловому коэффициенту нормали?

Dana Liz,
кого приравнивать? Нужно приравнять нормаль к касательной. Неважно, чьи нормаль и касательную, лишь бы разных объектов (удобнее — нормаль прямой и касательная кривой). Я подправил свое сообщение от 2011-05-01 в 22:18.

[Dana Liz]

Спасибо! Теперь, кажется, понятно... Сейчас попытаюсь дорешать))

[Dana Liz]

У меня получилось если у = -3/4,
то х = 4,5 в степени -1/3

?

Dana Liz,
Вы уверены, что приравнивали производную функции `y=-sqrt(2x^3)` к `-3/4`?
Напишите, чему равна производная.
Корень уравнения есть рациональное число, приличная обыкновенная дробь.

[Robot]

Вы что-то крупно перепутали

[Dana Liz]

это трудно написать, но попробую:

по таблице производных (sqrt х)' = 1 / 2 sqrt х

следовательно, у нас:
(y)'=-(sqrt(2x^3))' = - 1 / 2*sqrt2x^3

- 1 / 2*sqrt2x^3 = -3/4

[Robot]

Вы забыли, что здесь сложная функция
И вообще лучше записать `y=-sqrt(2)*x^(3/2)`
и дифференцировать как степенную

У Вас сложная функция. Пусть g(x)=2x^3
Тогда `y(x)=sqrt(g(x))`
Производная равна `y'(x)= (g'(x))/(2 sqrt(g(x)))` по правилу дифференцирования сложной функции.

И еще: в сообществе для удобства "математического" общения есть скрипт для отображения формул в том виде, в каком они привычны для глаз
ПОЛЬЗОВАТЕЛЬСКИЙ СКРИПТ ДЛЯ ОТОБРАЖЕНИЯ ФОРМУЛ И HELP ПО НАБОРУ ФОРМУЛ
Если установите, то сможете видеть формулы в их обычном виде, при этом сможете сами видеть то, что набираете (при выделении апострофами ` formula` формул).

[Dana Liz]

Тогда получается производная:
3х^2 / sqrt 2x^3

Правильно?