ГИА 2 часть

[yonkis]

Уравнение `x^2-px+(2p+1)=0` имеет два различных корня `x_1` и `x_2`. Выразить через `p` сумму `x_1^4+x_2^4`.

`x^2-px+(2p+1)=0`
`D=p^2-4(2p+1)=p^2-8p-4`
`x_1,2=(p+-sqrt(p^2-8p-4))/2

дальше возводить в 4 степень `x_1` и `x_2`?

@темы: ГИА (9 класс)

Comments

[Диана Шипилова]

Используйте теорему Виета.

[yonkis]

`x_1+x_2=p`

yonkis,
а второе уравнение системы?
Первое уравнение возведите в четвёртую степень, раскройте скобки. Одно из слагаемых при убирании у него коэффициента будет являться квадратом второго уравнения системы (построенной по теореме Виета). Будут еще несколько слагаемых, в которых по две переменных, сгруппируйте их, вынесите общие множители, подумайте, что можно сделать с тем, что осталось в скобках, как это выразить через `p`?

[Диана Шипилова]

yonkis
Да. Вам нужно выразить сумму четвёртых степеней через сумму и произведение.

[yonkis]

`{(p^4=x_1^4+4x_1^3x_2+6x_1^2x_2^2+4x_1x_2^3+x_2^4),(2p+1=x_1x_2.):}`

yonkis,
а дальше?

[yonkis]

возвести в квадрат второе уравнение?

[yonkis]

`4p^2+4p+1=x_1^2x_2^2`

[Robot]

Есть еще такой способ
`x_1^4+x_2^4=(x_1^2+x_2^2)^2-2*x_1^2*x_2^2`

А теперь найти
`x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2`
`x_1^2*x_2^2=(x_1*x_2)^2`

возвести в квадрат второе уравнение?

Можно и так, одно слагаемое Вы привели в нужную форму. Осталось двое (в которых есть две переменные — `x_1, x_2`), их можно сгруппировать и вынести общий множитель. Останется нерешенным случай, который написала Robot во второй половине комментария. Его можно разрешить еще путем возведения первого уравнения системы `x_1+x_2=p` в квадрат, а затем замены `x_1*x_2` на то, чему оно равно из второго уравнения системы `x_1x_2=2p+1`

[yonkis]

`p^4=(x_1^4+x_2^4)+2x_1x_2(2x_1^2+3x_1x_2+2x_2^2)`

yonkis,
стоп-стоп, зачем Вы потащили за собой `6x_1^2x_2^2`? Его уже преобразовали (выразили через `p`). Нужно работать над оставшимися двумя слагаемыми.

[yonkis]

`p^4=(x_1^4+x_2^4)+4x_1x_2(x_1^2+x_2^2)+6x_1^2x_2^2`

yonkis,
а дальше? Вы комментарии выборочно читаете или, может, что-то непонятно и боитесь спросить?

[yonkis]

`p^4=(x_1^2+x_2^2)-2x_1^2x_2^2+(4(2p+1)(p^2-2(2p+1))+6(2p+1)`

[yonkis]

`p^4=p^2-2(2p+1)-2(2p+1)+(8p+4)(p^2-4p-2)+12p+6`

Честно говоря, не понимаю, что Вы сделали. Четвертые степени вообще исчезли.

А теперь иксы вовсе пропали. Вы не забыли, что Вам надо найти значение выражения `x_1^4+x_2^4` через `p`?

[yonkis]

а что надо делать после `p^4=(x_1^4+x_2^4)+4x_1x_2(x_1^2+x_2^2)+6x_1^2x_2^2`?

Не забудьте, что

`+6x_1^2x_2^2`

Вы уже выразили через `p` почти (комментарий от 2011-05-01 в 17:41)

Остаются два слагаемых (слагаемые с четвертой степенью не трогаем), по поводу них:

Останется нерешенным случай, который написала Robot во второй половине комментария (2011-05-01 в 17:43 ). Его можно разрешить еще путем возведения первого уравнения системы `x_1+x_2=p` в квадрат, а затем замены `x_1*x_2` на то, чему оно равно из второго уравнения системы `x_1x_2=2p+1`

[yonkis]

`p^4=(x_1^4+x_2^4)+4(2p+1)(x_1^2+x_2^2)+6(4p^2+4p+1)`
а что делать с `(x_1^2+x_2^2)`?

yonkis,

а что делать с

про этот случай рассказывается, начиная со слов «Его можно разрешить еще путем...».

[yonkis]

`x_1^2+x_2^2=p^2-4p+2` правильно?

Да, верно.
Что получили в итоге?

[yonkis]

`p^4=(x_1^4+x_2^4)-8p^3-4p^2+24p+14`

[yonkis]

теперь перенести слагаемые с `p` в левую часть

[yonkis]

`x_1^4+x_2^4=p^4+8p^3+4p^2-24p-14` так?

А почему в комментарии от 2011-05-01 в 19:56 перед 8 стоит минус?

[Robot]

Я своим способом посчитала, что-то у меня не сходится с вашим

`p^4=(x_1+x_2)^4=x_1^4+4x_1^3x_2+6x_1^2x_2^2+4x_1x_2^3+x_3^4=`
`=(x_1^4+x_2^4)+6(2p+1)^2+4x_1x_2(x_1^2+x_2^2)=(x_1^4+x_2^4)+24p^2+24p+6+4(2p+1)(x_1^2+x_2^2)`

`p^2=(x_1+x_2)^2=x_1^2+2x_1x_2+x_2^2=(x_1^2+x_2^2)+4p+2 => x_1^2+x_2^2=p^2-4p-2`

`p^4=(x_1^4+x_2^4)+24p^2+24p+6+(8p+4)(p^2-4p-2)=(x_1^4+x_2^4)+24p^2+24p+6+8p^3-32p^2-16p+4p^2-16p-8=`
`=(x_1^4+x_2^4)+8p^3-4p^2-8p-2`

`=>x_1^4+x_2^4=p^4-8p^3+4p^2+8p+2`