Про поверхностный интеграл 2-ого рода

[Xoma]

Здраствуйте помогите пожалуйста найти поверхностный интеграл 2-ого рода:
`\int_S``\int y^2zdxdy+xzdydz+x^2ydxdz`,где S внешняя сторона поверхности `x^2+y^2=z` ограниченная цилиндром `x^2+y^2=1`
Вот хочу перейти к формуле `\int` `\int (Pcos(a)+Qcosb+Rcosc)ds`
Скажите правильно ли я косинусы составил:
`cosa=(z'_x)/(\sqrt(1+z'^2_x+z'^2_y))`
`cosb=(z'_y)/(\sqrt(1+z'^2_x+z'^2_y))`
`cosc=(-1)/(\sqrt(1+z'^2_x+z'^2_y))`
`ds=\sqrt(1+z'^2_x+z'^2_y)dxdy`
А потом просто подставить и все??

запись создана: 01.05.2011 в 14:45

@темы: Теория поля, Математический анализ, Векторный анализ

Comments

[_ТошА_]

Непонятно зачем переходить, но вообще правильно

[Xoma]

А как проще?у меня что-то с ответом не сходится

[_ТошА_]

Можно и исходный считать. По Гауссу будет хуже, думаю

[Xoma]

Остроградского нельзя использовать, а это как "исходный"?

[_ТошА_]

Можно, почему же нельзя его использовать.
Исходный - второго рода

[Xoma]

По факту нельзя не проходили мы его тогда

[_ТошА_]

А, ну я его и не пропагандирую

[Xoma]

а в смысле просто на 3 интеграла разбить?и потом через полярные координаты?

[_ТошА_]

Да зачем какие-то полярные?
Вы же можете проекции брать.
Скажем, берём `intint_S y^2z dxdy`
Ваша поверхность, через которую считаем поток - это дно параболоида.
Проектируем на плоскость Oxy, смотря нормаль к оси z. На наше счастье она всегда образует тупой угол. Тогда:
`intint_S y^2z dxdy = - intint_D y^2(x^2 + y^2)dxdy`
D - проекция. Вот это первый интеграл. Итд

[Xoma]

ааа,а y будет меняться от 0 до 1 и x так же?А в ответе пи восьмых получилось вот я и спрашиваю,разве так получится пи восьмых?а зачем тогда в условии говорится что S-внешняя сторона?как это будет сдесь использоваться?

[_ТошА_]

Это только часть интеграла. Проекция - круг, не знаю, что там у вас за от 0 до 1.
Внешняя сторона отвечает за нормаль как минимум

[Xoma]

Ну а как икс и игрек меняться будут?

[Xoma]

А потом надо будет проектировать на Oxz и Oyz?И там будет парабола?

[_ТошА_]

да. Вы двойной интеграл по области считать не умеете что ли?

[Xoma]

А кажется понял,где круг там буде x и y от -1 до 1,так?или надо переходить к полярным?просто не понятно откуда тогда пи восьмых получилось в ответе
А вот скажите жля второго я правильно сделал `intint_Sxzdydz=intint_Ssqrt(z-y^2)zdydz`

[Xoma]

Только там D вместо S

[_ТошА_]

А кажется понял,где круг там буде x и y от -1 до 1,так?или надо переходить к полярным?просто не понятно откуда тогда пи восьмых получилось в ответе

Научитесь считать площадь круга через двойной интеграл. Скажем, чему будет равен интеграл
`int int_D dxdy` где D: `x^2 + y^2 = 1`

Только напишите решение, как вы будете считать такой двойной интеграл. В ответе понятно что должно получиться.

[_ТошА_]

А вот скажите жля второго я правильно сделал

Неправильно, там же надо дробить поверхность на 2, т.к. нормаль будет менять свой знак.
Будет так:
`intint_S xzdydz`
`x = +-sqrt(z - y^2)`
Там, где х положителен, нормаль составляет острый угол с положительным направлением оси Ох, будет знак +, там, где х отрицательный, нормаль составляет тупой угол с положительным направлением оси Ох
Тогда:
`intint_S xzdydz = +1*intint_(D_1) z*sqrt(z - y^2)dydz - 1*intint_(D_2) z*(-sqrt(z - y^2))dydz`

[Xoma]

Но берется ведь первый октант разве там x не всегда>0??

[_ТошА_]

Почему вы берёте первый октант?

[Xoma]

Ну переходим к полярным координатам `x=rcos(\phi)``y=rsin\phi` якобиан =r,r от 0 до 1 фи от 0 до 2пи.А дальше разделяем r и фи

[Xoma]

Так в условии написанно забыл это написать,если так то я правильно написал?

[_ТошА_]

забыл это написать

вообще-то из-за этого всего вы нам лишнюю работу подкидываете.

Если так, то верно

[Xoma]

Извините,не понятно вот во втором интеграле будет парабола `z=y^2` ограниченная прямыми y=0 и z=1 Это правильно??просто не понятно как считать дальше

[_ТошА_]

Это правильно. Ну а что непонятного? Вычисляете двойной интеграл

[Xoma]

ну хорошо вот переходим к полярным координатам `y=rcos\phi` ,`z=r^2sin^2(\phi)` а от скольки до скольки меняется r и фи??

[_ТошА_]

а зачем переходить к полярным координатам?

[Xoma]

просто не понимаю как y и z меняются,не так случайно y от 0 до 1,z от 0 до 1?

[_ТошА_]

Нарисуйте картинку и выложите

[Xoma]

Ой это долго ну обычная парабола z=y^2 ограниченная прямой y=0 и z=1.