Линейная алгебра

[ritmix10]

Привет Всем!))
Доказать, что в унитарном пространстве из равенства (x,y)=0 следует равенство `||x||^2+||y||^2=||x+y||^2`
Что можно сказать о значении (x,y) если известно что в унитарном пространстве последнее равенство выполнимо?

Народ помогите пожалуйста сделать..!)

@темы: Линейная алгебра

Comments

[Robot]

ritmix10
||x||^2=(x,x)
||y||^2=(y,y)
||x+y||^2=(x+y,x+y)
Зачем Вам корни и неравенство К-Б?

[_ТошА_]

но вам же равенство надо доказать. не понимаю, зачем использовать нер-во

[ritmix10]

с помощью К-Б я мог избавиться от (x,y)

[_ТошА_]

из равенства (x,y)=0 следует равенство

не нужно изобретать там, где не надо

[ritmix10]

ну начал изобретать велосипед))

[Robot]

Там еще второй вопрос.

[ritmix10]

и что сказать можно
что они ортогональны?

[_ТошА_]

О значении. Подумайте, это просто

[Epygraph]

1) Для любой симметричной билинейной формы `B(x+y,x+y)=B(x,x)+2B(x,y)+B(y,y)`. Отсюда `B(x,y)=\frac{1}{2}[B(x+y,x+y)-B(x,x)-B(y,y)]`.
2) Для скалярного произведения получается `(x,y)=\frac{1}{2}[||x+y||^2-||x||^2-||y||^2]`.

[Robot]

Epygraph
Но у нас унитарное пр-во.
Там ведь не симметрично
`(y,x)=bar{(x, y)}`

[Robot]

в общем, не знаю, как поставить черточку над (x,y) (написала через ; )

[ritmix10]

мне все в голову лезет что они перпендикулярны!

[_ТошА_]

кто - они?

[Robot]

ritmix10
Я так понимаю, что второй вопрос такой
Пусть в унитарном пр-ве для любых х и у ||x||^2+||y||^2=||x+y||^2.

Что можно сказать о значении (x,y)

?

Нет, скалярное произведение необязательно равно 0.

[Гость]

в общем, не знаю, как поставить черточку над (x,y)

(y,x)=bar{(x, y)}

[Robot]

Гость спасибо

[ritmix10]

всем спасибо!))

[Epygraph]

Пусть `x=iy`. Тогда `||x||=||y||`. `||x+y||^2=|1+i|^2||y||^2=2||y||^2`, `(x,y)=i||y||^2`. Таким образом, теорема Пифагора верна для любого унитарного пространства, а обратная теорема Пифагора не верна для любого ненулевого унитарного пространства.

[Robot]

Epygraph

я тоже вчера это пример придумала, только явную формулу не выводила для скалярного произведения