Досрочный ЕГЭ по математике 25.04.2011

[Robot]

Досрочный ЕГЭ по математике 25.04.2011

Вариант 1
Часть С.
C1.
Решить уравнение `(8sin^2(x)-10sin(x)-7)/(1+sqrt(3)*tgx)=0`.
С2.
В правильной четырехугольной призме `ABCDA_1B_1C_1D_1`, стороны основания которой равны 5, а боковые ребра 12, найдите угол между прямыми `AC` и `BC_1` .
C3.
Решитe неравенство: `log_(1/3)(5^(1+log_15(x))-1/(3^(1+log_15(x))))>=-1+log_15(x)`
C4.
Диаметр окружности, вписанной в треугольник `PQR`, площадь которого равна 132, в три раза меньше высоты, проведенной из вершины `P`. Известно, что `QR=11`. Найдите сторону `PQ`.
С5.
Найти все значения `a`, при каждом из которых система
`{(x^2+(8a+4)x+7a^2+4a < 0), (x^2+a^2=16):}
имеет решения.
С6.
Число `P` равно произведению 11 различных натуральных чисел, больших 1. Какое наименьшее число различных натуральных делителей (включая 1 и само число) может иметь число `P`?

Часть В


B4
AC и BD- диаметры окружности с центром в точке О(см. рис) Угол АСВ равен 38. Найдите угол АОD. Ответ дайте в градусах

В5.
Клиент хочет арендовать автомобиль на сутки для поездки протяженностью 600 км. В таблице приведены характеристики трех автомобилей и стоимость их аренды. Помимо аренды клиент обязан оплатить топливо для автомобиля на всю поездку. Какую сумму в рублях заплатит клиент за аренду и топливо, если выберет самый дешевый вариант?

В6.
Найдите площадь трапеции, если ее вершины имеют координаты (1;1), (10;1) (9;7), (2;7)

B7
Найдите значение выражения
`(14sin84^@)/(sin42^@*sin48^2)
В8.
Материальная точка движется прямолинейно по закону `x(t)=3t^3+2t^2+2t`, где `x`- расстояние от точки отсчета в метрах, `t` время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость (в метрах в секунду) в момент времени `t=4c`
В9.
Цилиндр описан около шара. Объем шара 28 см^3. Найдите объем цилиндра. Ответ дайте в см^3.

В10.
Зависимость температуры (в градусах Кельвина) от времени для нагревательного некоторого прибора была получена экспериментально. На исследуемом интервале температура вычисляется по формуле `T(t)=T_0+bt+at^2`, где `t`- время в минутах, `T_o=1600K`, a=-5K/мин^2, b=105 K/мин. Известно, что при температуре нагревателя свыше 1870К прибор может испортиться, поэтому его нужно отключить. Определите, через какое наибольшое время после начала работы нужно отключить прибор. Ответ выразите в минутах.
В11.
Найдите наибольшее значение функции `y=6ln(x+6)-6x+6` на отрезке [-5,5;0]
B12
Первые 250 км автомобиль ехал со скоростью 50 км/час, следующие 180 км - со скоростью 60 км/ч, а затем 150 км - со скоростью 75 км/ч.
Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч

Вариант 2
Часть С.

C1.
Решить уравнение `(2cos^2(x)+11cos(x)-6)/(sqrt(3)-tgx)=0`.
С2.
В правильной четырехугольной призме `ABCDA_1B_1C_1D_1`, стороны основания которой равны 12, а боковые ребра 5, найдите угол между прямыми `AC` и `BC_1` .
C3.
Решитe неравенство: `log_(1/5)(2^(1+lg(x))-1/(5^(1+lg(x))))>=-1+lg(x)`
C4.
Радиус окружности, вписанной в треугольник `FGH`, площадь которого равна 210, в три раза меньше высоты, проведенной из вершины `F`. Известно, что `GH=28`. Найдите сторону `FH`.
С5.
Найти все значения `a`, при каждом из которых система
`{(x^2+(5a+6)x+4a^2+6a < 0), (x^2+a^2=36):}
имеет решения.
С6.
Число `A` равно произведению 12 различных натуральных чисел, больших 1. Какое наименьшее число различных натуральных делителей (включая 1 и само число) может иметь число `A`?

Вариант 3
Часть С
C1.
Решить уравнение `(4*cos^2(x)-8cos(x)-5)/(sqrt(3)+tgx)=0`.
С2.
В правильной четырехугольной призме `ABCDA_1B_1C_1D_1`, стороны основания которой равны 4, а боковые ребра 3, найдите угол между прямыми `AC` и `BC_1` .
C3.
Решитe неравенство: `log_(1/7)(2^(1+log_14(x))-1/(7^(1+log_14(x))))>=1+log_14(x)`
C4.
Окружность, вписанная в треугольник `KLM` , площадь которого равна 66, касается средней линии, параллельной стороне `ML` . Известно, что `ML=11`. Найти `MK`
С5.
Найти все значения `a`, при каждом из которых система
`{(x^2+(6a+3)x+5a^2+3a < 0), (x^2+a^2=9):}
имеет решения.
С6.
Число `Y` равно произведению 12 различных натуральных чисел, больших 1. Какое наименьшее число различных натуральных делителей (включая 1 и само число) может иметь число `Y`?
Обсуждение в закрытой записи (сейчас открыта) Учительской: pay.diary.ru/~eekfriends/p156545624.htm

Ссылки  webmath на четыре полных варианта:
http://webmath.exponenta.ru/ege_11/d_01.html
http://webmath.exponenta.ru/ege_11/d_02.html
http://webmath.exponenta.ru/ege_11/d_03.html
http://webmath.exponenta.ru/ege_11/d_04.html


Решения к некоторым заданиям и ряд ответов см. в комментариях

NEW Критерии к одному из вариантов www.alexlarin.narod.ru/ege/2011/250411krit.pdf

Видеорешения от Ольги Себедаш к задачам варианта 1
видео-С1
видео-С2
видео-С3
видео-С4
видео-С5

@темы: ЕГЭ

Comments

[Robot]

C1. (вариант1)
Решить уравнение `(8sin^2(x)-10sin(x)-7)/(1+sqrt(3)*tgx)=0`.
Решение
Данное уравнение равносильно системе:
`{(8sin^2(x)-10sin(x)-7=0),(cosx!=0),(tg(x)!=-1/sqrt(3)):}`
Рассмотрим первое уравнение системы.
Введем замену `sinx=t`. Решая квадратное уравнение `8t^2-10t-7=0`, получаем `t=-1/2` или `t=7/4`, откуда `sinx=-1/2` или `sinx=7/4`. Второе уравнение не имеет решений, так как `|sinx| <= 1`
Первое уравнение дает две серии корней `x=-pi/6+2*pi*k` и `x=-5*pi/6+2*pi*n` (`k,n in Z`)
Однако первая серия `x=-pi/6+2*pi*k` не удовлетворяет условию `tg(x)!=-1/sqrt(3)`
Ответ: `-5pi/6+2*pi*n,n in Z`

[Robot]

С2. (вариант1)
В правильной четырехугольной призме `ABCDA_1B_1C_1D_1`, стороны основания которой равны 5, а боковые ребра 12, найдите угол между прямыми `AC` и `BC_1` .
Решение.

Правильная четырехугольная призма - это призма , в основании которой квадрат, а боковые ребра перпендикулярны основанию
Под углом между скрещивающимися прямыми понимается угол между параллельными им прямыми, проходящими через одну точку. Легко показать, что `AD_1||BC_1`, а потому искомый угол - это угол `/_D_1AC`. Соединим точку `D` с точкой Е пересечения диагоналей квадрата в основании. Так как `DE` проекция `D_1E` на плоскость основания и `DE_|_AC`, то по теореме о трех перпендикулярах `D_1E_|_AC`, а потому треугольник `AED_1` прямоугольный
`cos(/_D_1AE)=(AE)/(AD_1)`
Так как `AE=5/sqrt(2)`, а `AD_1=13` (по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника `AD_1D`), то `cos(/_D_1AE)=5/(13sqrt(2))`, а `/_D_1AE =arc cos(5/(13sqrt(2)))`
Ответ: `arccos(5/(13sqrt(2)))`

[VEk]

С3. (Вариант 1)
Решите неравенство `log_(1/3) (5^(1+log_15 x)-1/3^(1+log_15 x) )>= -1+log_15 x`.
Ответ: `x in (1/15;2/3]`
Указание. Замена `t=1+log_(15) x`, тогда неравенство запишется `-log_3 (5^t-3^(-t) ) >= t-2` или `t-log_3 (15^t-1) >= t-2` или `0 < 15^t-1 <= 9` или `0 < t <= log_(15) 10`.

Вариант решение от к.черный
`5^(1+log_15 x)-1/3^(1+log_15 x)=(15x-1)/(3*3^(log_15 x))`

Тогда исходное неравенство равносильно системе:
`{((15-x)/(3*3^(log_15 x))<=3/((3^(log_15 x)))),(15x-1>0):}`

Т.к. `3^(log_15 x)>0`, то первое неравенство системы равносильно `15x-1<=9 iff x<=2/3`

Окончательно получаем: `x in (1/15; 2/3]`

C4. (Вариант 1)
Диаметр окружности , вписанный в треугольник `PQR`, площадь которого равна 132, в три раза меньше высоты, проведенной из вершины P. Известно, что `QR=11`. Найдите сторону `PQ`.
Ответ: 25 или 30
Указание. Из условия следует, что `r=1/6 h_(QR)`, поэтому простейшие расчеты дают `r=4, p=33` (полупериметр). Воспользуемся формулой Герона, имеем
`S^2=p(p-a)(p-b)(p-c)=p(p-a)(p^2-p(b+c)+bc)=p(p-a)(p^2-p(2p-a)+bc)=p(p-a)(bc-p(p-a))`. За сторону `a` принимаем `QR`, за `b` и `c` – стороны `PQ` и `PR`.
Арифметика дает результат `132^2=33*(33-11)*(bc-33*22)` или `11^2*12^2=6*11^2 (bc-6*11^2)` или `bc=24+6*11^2=6*125=750`. Так как `b+c=55`, то для нахождения этих сторон получаем квадратное уравнение `t^2-55t+750=0`. Его корни 25 и 30 (очевидно).

[Robot]

C4 (вариант 1)(второй способ) Для тех, кто не догадался использовать формулу Герона, есть еще один способ

Пусть `PH` - высота, проведенная из вершины P. Аналогично первому способу находим `PH=24`, `P=66` (P- периметр), тогда `PQ+PR=55`
Введем обозначения: `PQ=b`, `RH=x`, тогда `PR=55-b`,`QH=11-x`
Получаем систему
`{(b^2-(11-x)^2=(55-b)^2-x^2),(b^2-(11-x)^2=24^2):}
Однако этот способ более громоздкий, кроме того, приходится рассматривать еще случай , когда Н лежит не на отрезке `QR` (случай когда Н лежит на стороне QR как раз невозможен - см. коммментарий ниже).

[Robot]

С5.(Вариант 1)
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система `{(x^2+(8a+4)x+7a^2+4a<0),(x^2+a^2=16):}` имеет решения.
Решение
Рассмотрим уравнение `x^2+(8a+4)x+7a^2+4a = 0`
`D=(3a+2)^2`
`x_1=-a` `x_2=-7a-4`.
Исходная система равносильна системе: `{((x+a)(x+7a+4)<0),(x^2+a^2=16):}`
Используем координатно-параметрический способ. Введем систему координат aOx
Графиком уравнения является окружность с центром в точке О(0;0) и радиусом `R=4`.
Неравенство задает часть плоскости, заключенную между прямыми: `x=-a` и `x=-7a-4`(см. рис)
Система имеет решения для тех значениях а, при которых точки окружности лежат в заштрихованной области
Найдем значения параметра `a`, для которых окружность и прямые пересекаются.
Окружность пересекается с прямой `x=-a` в точках `(-2sqrt(2);2sqrt(2))` и `(2sqrt(2);-2sqrt(2))`, а с прямой `x=-7a-4` в точках (0;-4) и (-28/25;96/25)
Точки окружности лежат в заштрихованной области при `-2sqrt(2) < a < -28/25` и ` 0 < a < 2sqrt(2)`
Ответ: `(-2sqrt(2);-28/25)uu(0;2sqrt(2))`

[VEk]

С6 (вариант 1). Число P равно произведению 11 различных натуральных чисел, больших 1. Какое наименьшее число различных натуральных делителей (включая единицу и само число) может иметь число P?
Ответ: 67
Указание. Если все 11 различных натуральных чисел являются степенями одного простого числа, тогда `P=p*p^2*p^3*...*p^11=p^66` и, значит, оно имеет 67 различных делителей.

Обоснование того, что это наименьшее количество делителей будет приведено позже.

[к.черный]

Вариант 3

C4.
Окружность, вписанная в треугольник `KLM` , площадь которого равна 66, касается средней линии, параллельной стороне `ML` . Известно, что `ML=11`. Найти `MK`

Решение. Пусть Средняя линия, параллельная стороне `ML` - `AB`.
Тогда данная в условии окружность вписана в трапецию `MABL`.
Площадь треугольника `AKB` равна `1/4` площади `MKL`, тогда площадь трапеции равна `3/4` площади `MKL`, т.е. `3/4*66=99/2`

Т.к. `ML=11`, то `AB=11/2`, и высота трапеции `h=2r=6` => радиус вписанной в трапецию (и в треугольник) окружности равен 3.
Теперь работаем с треугольником `MKL`: `p=66:3=22`, `P=44`, `MK+KL=44-11=33`
Пусть `MK=x`, `KL=33-x`
Используем формулу Герона:
`66^2=22*11*(22-x)(x-11)`
`18=(22-x)(x-11)`
`x^2-33x+260=0`
`x=13` или `x=20`

Ответ: 13 или 20

[к.черный]

1 вариант

часть В
В4 104
В5 3648
В6 48
В7 28
В8 162
В9 42
В10 3
В11 36
В12 58

Советую прорешать и убедиться в правильности ответов или указать на ошибки

[Новый гость]

C4 (вариант 1)(второй способ) Для тех, кто не догадался использовать формулу Герона, есть еще один способ

Так и решил. Не так уж и громоздко, нормально.

кроме того, приходится рассматривать еще случай , когда Н лежит не на отрезке QR.

Странно, я не рассматривал случай, а всё равно получилось 25 и 30. В чём же дело?

[Robot]

Там уравнение получается в конечном итоге такое же

[Новый гость]

А если так, нельзя ли как-нибудь два случая объединить в один?

[Robot]

Там вообще так, я сейчас посмотрела
Случай, когда Н лежит на стороне QR треугольника вообще не имеет места
Поскольку, например, при PQ=25 (PR тогда 30) у нас получатся отрезки RH=18 и HQ=7, а ведь вся длина стороны QR=11
Поэтому приходится рассматривать случай Н вне QR (да и вообще и на всякий случай надо посмотреть случай, когда Н совпадает с одной из точек Q и R)

[Новый гость]

Всё равно странно: решал, не думая ни о каких случаях, ориентируясь на остроугольный треугольник, и получил 25 и 30. Повезло, наверное.

[Егэ-тренер]

Какие молодцы! Уже всё прорешали
Вставлю до кучи немножко. Модели без голоса (унесён гриппом), голос будет позже.
видео-С4
- тоже получала уравнение `x^2 - 55x + 750 = 0` и ещё 132 в квадрат возводила)) Правда, пришла к этому с помощью Пифагора, а не Герона.
Потом переиграла. Не знаю, насколько удачнее, но квадратных уравнений избежала.
видео-С1
видео-С5

[Robot]

Егэ-тренер
Спасибо большое!!
Поправляйся!

Я с С4 начала крутить кусок длины 22, но не дотянула до конца=(

[Егэ-тренер]

Robot, я тоже. Именно с этого начала, потом бросила. Но вычисления меня добили. Вот опять вернулась к этой идее))

[Гость]

Из условия следует, что `r=1/6 h_(QR)`, поэтому простейшие расчеты дают `r=4, p=33` (полупериметр).

Не могли бы вы, пожалуйста, пояснить?

[Robot]

Гость
h_(QR) это при наборе скриптом означает - высота, опущенная на QR
Эта высота в три раза больше диаметра, а значит, в 6 раз больше радиуса, потому
r=(1/6)h_QR

Егэ-тренер
Меня тоже добили=)

[yura24]

вечный вопрос: когда нибудь часть С с досрочного была похожа на обычный?

[Гость]

Robot
Спасибо, это понятно.
Непонятно другое: рассматривается случай, когда радиус окружности лежит на биссектрисе угла? Или это не так? Похоже не так, ориентируясь на рисунок из второго способа решения...

[yura24]

Robot не понимаю, как так получилось:` bla-bla-bla >= -1+log_15x`
` bla-bla-bla >=t-2`
как там 2 взялась?

[Robot]

радиус окружности лежит на биссектрисе угла?
Это что-то непонятное Вы сказали

Общая часть двух способов: используется формула S=(1/2)h*QR
Отсюда находим высоту - она равна 24
r=(1/6)h=4
Далее S=pr (p-полупериметр)
Отсюда находим p=33
Периметр тогда 66.
При способе VEk даже чертеж не нужен

[Robot]

yura24
чуть попозже, мне нужна передышка

[yura24]

Robot отдыхайте!

[Robot]

yura24

вечный вопрос: когда нибудь часть С с досрочного была похожа на обычный?

Вот самое лучшее, если Вы будете считать, что досрочный на настоящий не похож
Я не знаю, насколько это соответствует действительности. Но просто примите это за данность для себя и успокойтесь.
Скажите себе: нет, задачи будут другими. И тогда если они будут похожи - какое счастье! А если будут действительно другими, то вы уже будете морально к этому готовы и не испытаете шок.
Сейчас Вы просто тренируйтесь - на многих и разных задачах.
И не думайте о том, какие они будут на экзамене.

Замена `t=1+log_(15) x`
Тогда
`t-1=log_(15) x`
и подставляем в правую часть

[Epygraph]

Пусть $p$ - одно из простых чисел из разложения данного числа на простые сомножители, $k=k(p)$ - максимальная степень $p$ в разложении на простые множители $11$-и сомножителей из условия.

Можно считать, что в $11$-и сомножителях содержится $p$ со всеми степенями $1,\dots,k$, т.к. при отсутствии степени $1\le j<k$ можно все степени числа $p$ с большим $j$ показателем уменьшить на единицу, не увеличивая общее число делителей данного числа.

Таким образом, в разложении данного числа на простые множители число $p$ входит в степени $1+\dots+k=\frac{(1+k)k}{2}$. Если обозначить через $M_k$ на единицу большее число, то общее число различных делителей данного числа не превосходит $M_1\cdots M_m$, где $m$ - количество простых сомножителей в разложении данного числа.

Если $m=1$, то данное число имеет разложение $p\cdot p^2\cdots p^{11}=p^{66}$ и общее число делителей равно $67$.

Докажем, что это есть искомый минимум. Для этого вычислим значения $M_k$ для некоторых $k$.

$M_1=2$, $M_2=4$, $M_3=7$, $M_4=11$, $M_5=16$, $M_6=22$, $M_7=29$, $M_8=36$.

В случае $m=2$, т.е. двух простых чисел, обозначим через $k_1$ меньшее из чисел $k(p_1), k(p_2)$. Для того, чтобы общее число сомножителей было меньше $67$ допустимы варианты: $k_1=1, k_2\le 7$ (иначе сомножителей $\ge 2\cdot 36=72$), ($k_1=2, k_2\le 5$), ($k_1=3, k_2\le 3$). При этом не более двух сомножителей из $11$-и могут содержать в разложении $p_1$, поэтому в остальных $9$-и сомножителях должен быть сомножитель $p_2$ в $9$-и различных степенях, т.е. $k_2\ge 9$.

В случае $m=3$ предположим, что $k_1\le k_2\le k_3$. Тогда для того, чтобы общее число сомножителей было меньше $67$ допустимы варианты: ($k_1=k_2=k_3=1$), ($k_1=k_2=1,k_3=2$), ($k_1=1,k_2=k_3=2)$, ($k_1=k_2=2,k_3=3)$. При этом в разложении числа на $11$ сомножителей количество сомножителей, содержащих одно из чисел $p_1,p_2,p_3$, не более двух для каждого числа, всего не более восьми сомножителей.

При $m=4$ и $k_1\le k_2\le k_3\le k_4$ менее $67$ сомножителей при ($k_1=k_2=k_3=k_4=1$), ($k_1=k_2=k_3=1,k_4=2$), ($k_1=k_2=1,k_3=k_4=2$). При этом можно получить разложение числа только на пять или менее различных сомножителей.

При $m=5$ и $k_1\le k_2\le k_3\le k_4\le k_5$ менее $67$ сомножителей при ($k_1=k_2=k_3=k_4=k_5=1$), ($k_1=k_2=k_3=k_4=1,k_5=2$). При этом можно получить разложение числа только на пять или менее различных сомножителей.

При $m=6$ менее $67$ сомножителей только при ($k_1=k_2=k_3=k_4=k_5=k_6=1$). При этом можно получить разложение числа только на шесть или менее различных сомножителей.

При всех $m\ge 7$ получается $M_1\cdots M_m\ge 2^7>67$.

[Гость]

Можно считать, что в $11$-и сомножителях содержится $p$ со всеми степенями $1,\dots,k$, т.к. при отсутствии степени $1\le j<k$ можно все степени числа $p$ с большим $j$ показателем уменьшить на единицу, не увеличивая общее число делителей данного числа.

Мне кажется, что степени могут встречаться и не по одному разу. Тогда сумма уменьшится и решение придется расширять на еще несколько случаев.

[Robot]

Epygraph
Огромное Вам спасибо
Буду разбираться.

[Epygraph]

Тогда сумма уменьшится и решение придется расширять на еще несколько случаев.

Надо править сообщение от 2011-04-26 в 08:01. Вместо

то общее число различных делителей данного числа равно $M_1\cdots M_m$

надо писать "то общее число различных делителей данного числа не превосходит $M_1\cdots M_m$".

Тогда сумма уменьшится и решение придется расширять на еще несколько случаев.

С учетом указанных выше изменений новых случаев рассматривать не надо. Надо несколько изменить подсчет количества различных сомножителей (показать, что $11$-и сомножителей не будет).

[Robot]

Поправила.
Только у меня не лады с компом, пока не вижу то, что набрано скриптом, и проверить, правильно ли отображается не могу=(