воскресенье, 10 апреля 2011
13:13

Аналитическая геометрия.

все записи пользователя в сообществе t.s.a.t.s
Здравствуйте! Не могу никак решить задачу:
`TZ`
Найти геометрическое место точек пересечения нормалей к параболе y^2=4x в концах хорд, проходящих через фокус
[[/TZ]]

Беру на параболе точку А, выражаю точку В( второй конец хорды АВ) как точку пересечения прямой AF и параболы,(т.е. выражаю координаты В через координаты А). Вот получили координаты двух точек, а дальше какие уравнения ни составляй, получается привязанность к точке А.. :( Ещё у меня получилось что треугольник AMB( где M - точка искомого множества) - прямоугольный и равнобедренный
Очень надеюсь на вашу помощь!

Примечание Robot:
Поднимаю
Дорогие члены сообщества, эксперты по ангему!
Нам нужна помощь зала

@темы: Аналитическая геометрия

URL
Комментарии
09.04.2011 в 20:26

_ТошА_
Всё должно быть сделано настолько простым, насколько это возможно, но не проще. А. Энштейн
нарисуйте картинку для начала
URL
09.04.2011 в 21:11

Гость
Прямоугольные треугольники там будут получаться, но почему равнобедренные?
URL
10.04.2011 в 02:38

Heor
Мыслить последовательно, судить доказательно, опровергать неправильные выводы должен уметь всякий: физик и поэт, тракторист и химик. (с)Э. Кольман
Существует чисто физическое решение, основанное на оптическом свойстве параболы.
Как известно, лучи света, исходящие из фокуса параболы, отражаются от параболы таким образом, что отраженные лучи параллельны оси параболы. Так же известно, что угол падения равен углу отражения. А значит, перпендикуляр к параболе в точке преломления будет биссектрисой угла между исходящим и отраженным углом.



Отсюда уже можно танцевать. И доказывать, что искомым ГМТ будет парабола, подобная исходной и несколько сдвинутой вдоль оси x.
URL
10.04.2011 в 09:24

t.s.a.t.s
Можете пояснить следующий шаг? Не совсем понятно, в какую сторону двигаться
URL
10.04.2011 в 11:50

Heor
Мыслить последовательно, судить доказательно, опровергать неправильные выводы должен уметь всякий: физик и поэт, тракторист и химик. (с)Э. Кольман
t.s.a.t.s
Как вариант. Подумать, какая будет описываться перенос и сжатие. Посмотреть, сколько у Вас будет параметров и набрать соответствующее количество точек для составления уравнений. И эти уравнения потом решить.

Ничего лучше не придумывается пока.
URL
10.04.2011 в 15:28

Epygraph
Отсюда уже можно танцевать. И доказывать, что искомым ГМТ будет парабола, подобная исходной и несколько сдвинутой вдоль оси x.

Можно получить уравнение искомой кривой "напролом"
1) Пусть `A_1(x_1,y_1)` и `A_2(x_2,y_2)` координаты концов хорды. Тогда векторы `A_1A_2` и `A_1F` - пропорциональны (`F` -фокус параболы). Отсюда и из уравнения параболы все четыре переменные выражаются через `y_1`.
2) Градиент функции `f(x,y)=4x-y^2` равен `(4;-2y)`. Поэтому уравнение нормальной прямой в точке `(x_0,y_0)` можно записать в виде `2y_0(x-x_0)+4*(y-y_0)=0`.
3) Записывая и решая систему уравнений для нормальных прямых для точек `A_1` и `A_2`, находим выражение координат точки пересечения через `y_1`.
4) Исключая параметр `y_1`, получаем уравнение искомого ГМТ.

Ответ: парабола с уравнением вида `x=ay^2+b`. Значения коэффициентов `a,b` не привожу, чтобы не нарушать правила сообщества.
URL
10.04.2011 в 18:18

t.s.a.t.s
Большое спасибо!
URL
10.04.2011 в 18:38

Epygraph
t.s.a.t.s
Большое спасибо!

`x=y^2+3`
URL