Пробный ЕГЭ по математике от 09 апреля 2011 года

[l Shift->stop->end l]

Пробный ЕГЭ по математике от 09 апреля 2011 года
См. также страницу Пробные ЕГЭ по математике (апрель 2011 года)

Несколько вариантов, найденных в Интернете
Целиком варианты можно скачать с сайта Ларина А.А.
Варианты 66; 73; 80; 97
Варианты 215, 216 от МИОО
Видеоразбор от Ольги Себедаш

Часть С.

Вариант 1 (Вариант 97)
C1.
Решить уравнение `(sqrt(-tgx)-root(4)(3))(2cos^2x+3cosx-2)=0`.
С2.
Дана правильная четырехугольная пирамида SABCD, все ребра которой равны 1. M - середина бокового ребра SC. Найти угол между прямой BM и плоскостью основания.
C3.
Решить неравенство: `log_(5-x)(x^2-14x+49)<=2log_(5-x)(8x-x^2-7)-2`
C4.
Найти радиус окружности, вписанной в угол MKN, равный `2arcsin 0.6` и касающейся окружности радиуса 4, также вписанной в угол MKN.
С5.
Найти все значения параметра `b`, при каждом из которых корни уравнения
`sqrt(x+3-4sqrt(x-1))+sqrt(x+8-6sqrt(x-1))=b`
существуют и принадлежат отрезку [2;17].
С6.
Найти все целые значения `x` и `y`, для которых верно равенство
`x(x+1)=y^2
Вариант 2 (Вариант 80)
C1.
Решить уравнение `(sqrt(-cosx)-1)(2sin^2x-5sinx-3)=0`.
С2.
В правильном тетраэдре `ABCD` M - середина ребра DC. Найти угол между прямой BM и плоскостью ABC.
C3.
Решить неравенство: `log_(3-x)(x^2-10x+25)<=2log_(3-x)(4x-x^2+5)-2`
C4.
Трапеция ABCD с основаниями AD и BC вписана в окружность с центром в точке O. Найдите высоту трапеции, если ее средняя линия равна 3, и sin /_AOB = 3/5.
C5.
При каких значениях параметра `c` уравнение `2cos^2(2^(2x-x^2))=c+sqrt3sin(2^(2x-x^2+1))` имеет решение?
С6.
Найдите все целые значения `x` и `y`, при которых верно равенство:
`y^2-1=3*2^x`

Вариант 3 (Вариант 66)
C1.
Решить уравнение `(sqrt(-tgx)-1)(2sin^2x+5sinx-3)=0`.
С2.
В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна 12 см. Найдите расстояние от центра основания до боковой грани, если двугранный угол при ребре основания равен `pi/3`.
C3.
Решить неравенство: `1-(1/2)log_(sqrt(3))(x+5)/(x+3)>=log_9(x+1)^2`
C4.
На стороне ВС параллелограмма ABCD выбрана точка Е, делящая эту сторону в отношении 2:3. Отрезок DE пересекает диагональ АС в точке F Какую часть площади параллелограмма ABCD составляет площадь треугольника AFD?
С5
Найдите все значения параметра `a`, при которых система имеет решение
`{(log_2(4y+4a-3)=1+log_2(a-x)),(y=sqrt(x)):}`
C6
Найдите все натуральные `m`,`n`,`p`, для которых выполняется условие `mnp=m+n+p`

Вариант 4 (Вариант 73)
C1.
Решить уравнение `(sqrt(-sinx)-1)(tg^2x-tgx-2)=0`.
С2.
В правильной четырехугольной пирамиде двугранный угол при ребре основания равен pi/3. Найдите расстояние от стороны основания до противоположной боковой грани, если высота пирамиды 4 см.
C3.
Решить неравенство: `1+log_6((x+3)/(x+7)) le 1/4 log_(sqrt(6))(x-1)^2`
C4.
Дан параллелограмм ABCD. Биссектрисы его углов A и D делят сторону BC на три равные части. Вычислите стороны параллелограмма, если его периметр равен 40.
С5
Найдите все значения параметра `a`, при которых система имеет решение
`{(1+log_2(a-2-y)=log_2(a-x)),(y+2sqrt(x)=1):}`
C6
Найдите все натуральные `m`,`n`,`p`, для которых выполняется условие `2mnp=m^2+n^2+p^2`.

Вариант 5 (Вариант 215)
C1. Решите уравнение `(2cos^2 x + sin x - 2) *ln sin x = 0`.
C2. В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF сторона основания AB=2, боковое ребро SA=`sqrt(7)`. Найдите расстояние от вершины A до плоскости SBD. Ответ: `sqrt(3)`
C3. Решите неравенство `log_4 (x+5)^4 * log_16 (x+4)^2 + log_2 ((x+4)^3/(x+5)) - 3 > 0`.
C4. Дан квадрат ABCD со стороной 7 и окружность S с центром в точке А радиуса 2. Найдите радиус окружности, касающейся внешним образом окружности S, содержащейся внутри квадрата и касающейся двух его соседних сторон.
C5. Найдите все положительные значения а, при каждом из которых система `{(4x + 3y= 13),(x^2 + y^2 = a^2),(1 le x le 4):}` имеет единственное решение.
C6. Сумма шестнадцати чисел равна 0,5. Оказалось, что сумма каждых пятнадцати из этих шестнадцати чисел положительна. Какое наименьшее целое значение может иметь наименьшее из данных чисел?
Обсуждение eek.diary.ru/p154542803.htm

Вариант 6 (Вариант 216)
C1. Решите уравнение `(2sin^2 x - cos x - 2) *ln (-cos x) = 0`.
C2. В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF сторона основания AB=2, боковое ребро SA=`sqrt(5)`. Найдите расстояние от вершины A до плоскости SCE. Ответ: `3/sqrt(2)`
C3. Решите неравенство `log_8 (x-3)^2 * log_16 (x-7)^6 + log_2 ((x-3)^5/(x-7)) - 5 > 0`.
C4. Дан квадрат ABCD со стороной 17 и окружность S с центром в точке А радиуса 8. Найдите радиус окружности, касающейся внешним образом окружности S, содержащейся внутри квадрата и касающейся двух его соседних сторон.
C5. Найдите все положительные значения а, при каждом из которых система `{(8x - 15y= 36),(x^2 + y^2 = a^2),(-4 le y le 4):}` имеет единственное решение.
C6. Сумма восьми чисел равна `1 1/3`. Оказалось, что сумма каждых семи из этих восьми чисел положительна. Какое наименьшее целое значение может иметь наименьшее из данных чисел?

Информация будет добавляться
В комментариях выложены условия картинкой и несколько решений

@темы: Тренировочные/диагностические работы, ЕГЭ

Comments

[l Shift->stop->end l]

Вариант 1

[l Shift->stop->end l]

Вариант 3

[Robot]

C1 (вариант 1)
Решить уравнение `(sqrt(-tgx)-root(4)(3))(2cos^2x+3cosx-2)=0`.

[Robot]

С2 (вариант 1)

Дана правильная четырехугольная пирамида SABCD, все ребра которой равны 1. M - середина бокового ребра SC. Найти угол между прямой BM и плоскостью основания.

Пусть `SO`- высота данной пирамиды. Проведем в плоскости треугольника `SOC` `MH` параллельно `SO`. Тогда `MH_|_(ABC)`. Соединим В с точкой Н. Тогда ВН- проекция ВМ на плоскость основания, а потому угол MBC- искомый.
Так как все ребра пирамиды равны 1, то `SO=sqrt(2)/2`
Так как МН- средняя линия в треугольнике `SOC`, то `MH=sqrt(2)/4`
`BM` является медианой в правильном треугольнике `SBC` со стороной 1, поэтому `BM=sqrt(3)/2`
Тогда `sin/_MBH=(MH)/(BM)=1/sqrt(6)`, а `/_MBH=arcsin(1/sqrt(6))`

[Robot]

C3. (вариант 1)
Решить неравенство: `log_(5-x)(x^2-14x+49)<=2log_(5-x)(8x-x^2-7)-2`

[Robot]

С4 (вариант 1)
Найти радиус окружности, вписанной в угол MKN, равный `2arcsin 0.6` и касающейся окружности радиуса 4, также вписанной в угол MKN.
Решение из пособия Корянова А.Г, Прокофьева А.А.
alexlarin.narod.ru/ege/2011/C4-2011.pdf

]

Возможно решение, основанное на такой лемме.
Пусть две окружности радиусов r и R касаются друг друга внешним образом и касаются обшей касательной в точках A и B. Тогда `AB=2sqrt(Rr)`.
Тогда имеем: расстояние от точки касания окружности с заданным радиусом до вершины угла равно `x=Rctg(alpha/2)=4/3R` (`alpha = /_MKN`).
Используя лемму и подобие треугольников получаем `R/x=r/(x+-2sqrt(Rr))`, откуда приходим к уравнению `4R^2-17Rr+4r^2=0`.

[Heor]

Вар.1 C6. Найти все целые значения `x` и `y`, для которых верно равенство `x*(x+1) = y^2`

Преобразуем равенство к виду:
`x^2 + 2*(1/2)*x +1/4 - y^2 = 1/4`, `(x + 1/2)^2 - y^2 = 1/4`
`4*(x + 1/2 - y)*(x + 1/2 + y) = 1`, `(2x + 1 - 2y)*(2x + 1 + 2y) = 1`

Решение данного уравнения в целых числах сводится к решению двух систем
1)
`{(2x+1-2y=1),(2x+1+2y=1):}`
Ее решением является пара `(0;0)`
2)
`{(2x+1-2y=-1),(2x+1+2y=-1):}`
Ее решением является пара `(-1;0)`

Ответ: `(x,y) in {(0, 0), (-1, 0)}`

[Heor]

Вар.1 С5. Найти все значения параметра `b`, при каждом из которых корни уравнения
`sqrt(x+3-4sqrt(x-1))+sqrt(x+8-6sqrt(x-1))=b` существуют и принадлежат отрезку [2;17].

Ответ: `b in [1, 3]`

`y = sqrt(x - 1) => x = y^2 + 1 => y in [1, 4]`
`sqrt(y^2 + 4 - 4*y) + sqrt(y^2 + 9 - 6*y) = b`
`|y - 2| + |y - 3| = b` (*)
Задача сводится к решению вопроса, при каких `b` корни уравнения (*) существуют и принадлежат отрезку [1;4]
Далее возможно как аналитическое (уравнение рассматривается на промежутках `[1;2)`, `[2;3]`, `(3;4]`), так и графическое решение.
Аналитическое решение. Исследуем на промежутках:
`y>3 => y - 2 + y - 3 = b; y = (b + 5)/2.` Значит, `3 < (b + 5)/2 <= 4`, откуда `1 < b <= 3`.
`y in [2;3] => y - 2 -y + 3 = b; b = 1;`
`y < 2 => - y + 2 - y + 3 = b; y = (5 - b)/2.` Значит, `1 <= (5 - b)/2 < 2`, откуда `1 < b <= 3`

Объединяя полученные результаты получаем ответ: `b in [1, 3]`.

Графическое решение (см. ). На рисунке проведены границы для x, они высекают часть графика , удовлетворяющую условию. Проекция высеченной части графика на ось Oy дает решение.

[VEk]

Вар.2 С6
Найдите все целые значения `x` и `y`, при которых верно равенство: `y^2-1=3*2^x`
Ответ: `(x;y) in {(0;+-2),(3;+-5),(4;+-7)}`
Указание. При `x < 0` имеем `1 < y^2=3∙2^x+1 < 4`, откуда `1<|y|<2` и целых `y`, удовлетворяющих указанному условию, не существует.
При `x = 0` имеем `y = +-2`.
При `x > 0`имеем: правая часть уравнения четна и делится на 3, а `y` нечетно. Отсюда для определения `y` получаем соотношения `y=2n-1=3m-1` или `y=2n-1=3m+1`, `m,n in Z`. Из первого соотношения получаем `y=6k-1`, из второго – `y=6k+1`,` k ∈Z`. Таким образом, `y=6k±1`, `k ∈Z`. Подставляя это выражение в уравнение и сокращая на 3 получаем `k(3k+-1)=2^(x-2)`. В силу взаимной простоты чисел `k` и `3k+-1`, получаем, что одно из них по абсолютной величине равно 1, а второе - степень двойки.
Если `3k-1=1` или `3k+1=-1`, то `k` не целое.
Если `3k+1=1` или `3k-1=-1`, то `k=0` и, следовательно, `|y|=1`, что противоречит уравнению.
Если `k=-1`, то `3k+-1` равно -2 или -4. Подставляя указанные значения в соотношение `k(3k±1)=2^(x-2)`, получаем, что `x=3` или `x=4`, и далее легко получаем пары (3; -5) и (4;-7).
Если `k=1`, то `3k+-1`равно 2 или 4. Подставляя указанные значения в соотношение `k(3k±1)=2^(x-2)`, получаем, что `x=3` или `x=4`, и далее легко получаем пары (3; 5) и (4;7).

[VEk]

Вар.2 С5
При каких значениях параметра `c` уравнение `2cos^2(2^(2x-x^2))=c+sqrt3sin(2^(2x-x^2+1))` имеет решение?
Ответ: `c in [-1;2)`
Указание. `2cos^2(...)` сворачивается через двойной угол, получаем `2sin(pi/6-2^(2-(x-1)^2))=c-1`. Так как `2^(2-(x-1)^2) in (0;4]`, то аргумент у синуса меняется в пределах `[pi/6-4; pi/6)`. Заметим, что `-7pi/6 < pi/6-4 < -pi`, поэтому `sin(phi)` меняется в пределах [-1;0.5). Значит `c in [-1;2)`.

[hanni_hilton]

можете выложить часть Б?
80 варианта

[Гость]

hanni_hilton
Все что есть - перед Вами

[VEk]

Вар.3 С5. (вариант 66)
Найдите все значения параметра `a`, при которых система `{(log_2(4y+4a-3)=1+log_2(a-x)),(y=sqrt(x)):}` имеет решение

Ответ: `a in (0.25;1.5]`
Указание. Исходная система равносильна такой `{(4y+4a-3=2a-2x),(a-x>0),(y=sqrt(x)):}`. Исключим из первого уравнения переменную `x`, получим `2y^2+4y+2a-3=0`, при этом хотя бы один корень уравнения должен удовлетворять условию `0 ≤ y < sqrt(a)`. Графиком квадратного трехчлена `f(y)=2y^2+4y+2a-3` является парабола с ветвями направленными вверх и вершиной в точке `(-1;2a-5)`. Поэтому для того, чтобы больший из корней трехчлена попадал на `[0;sqrt(a))`, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия `{(f(0) <= 0),(f(sqrt(a)) > 0):}``↔{(2a-3 ≤ 0),(4a+4sqrt(a)-3 > 0):}`. Отсюда `{(a≤1.5),(2sqrt(a)+1>2):}`, и, значит `a in (0.25;1.5]`.

[Heor]

Вариант 3. C6. (вариант 66) Найдите все натуральные `m,n,p`, для которых выполняется условие `mnp=m+n+p`
Решение

Будем считать, что искомые `m,n,p` - это такая упорядоченная тройка натуральных чисел, что `0 < m <= n <= p`.

Т.к. `m + n + p = m*n*p`, то `m + n = p*(m*n - 1)`
Очевидно, что `m*n != 1`. Ибо, `m + n > 0`. А значит `m*n - 1 > 0 => m*n > 1 => n > 1`.

Тогда можем записать, что `p = (m + n)/(m*n - 1) >= n`
Т.к. `m*n - 1 > 0`, то `m + n >m*n^2 - n` => `m <= (2*n)/(n^2 - 1)`

Т.к. `m` натуральное число, то `2*n >= n^2 - 1`(1), а т.к. `n>1`, то из (1) можно сделать вівод, что `n <= 1 + sqrt(2)`.
Отсюда следует, что `n = 2` => `m = 1` => `p = (m + n)/(m*n - 1) = 3`.
Заметим, что все тройки полученные перестановкой чисел, также являются решением.

Ответ: `(1, 2, 3)`, `(1,3,2)`, `(2,1,3)`, `(2,3,1)`, `(3,1,2)`, `(3,2,1)`

[trulyalya]

Не понимаю С5 второго варианта. Ступор какой-то =(
Конкретнее, вот эту фразу Заметим, что `-7pi/6 < pi/6-4 < -pi`, поэтому `sin(phi)` меняется в пределах [-1;0.5).
Объясните, пожалуйста, если не трудно.

[trulyalya]

Вар.2 С6
Найдите все целые значения `x` и `y`, при которых верно равенство: `y^2-1=3*2^x`
Ответ: `(x;y) in {(0;+-2),(3;5),(4;7)}`
........
Если `k=1`, то `3k+-1`равно 2 или 4. Подставляя указанные значения в соотношение `k(3k±1)=2^(x-2)`, получаем, что `x=3` или `x=4`, и далее легко получаем пары (3; 5) и (4;7).

исправлю небольшую опечатку. Должно быть так: (x;y) in {(0;+-2),(3;+-5),(4;+-7)

[VEk]

trulyalya
С5. Аргумент у синуса равен `pi/6-2^(2-t^2)`, т.е. он меньше, чем `pi/6`, и минимальное значение аргумента равно `pi/6-4` при `t=0`. Поэтому для оценивая области значений функции `sin(phi)`надо оценить, в каких пределах меняется аргумент. (Здесь `t` и `phi`просто обозначения для сокращения записи.) Если это нарисовать на тригонометрическом круге то получается нижняя полуокружность и два куска дуги в I и II квадрантах. Приведена оценка для куска дуги во II квадранте.

За указанную неточность в решении C6 спасибо. Но там ошибка несколько ранее, при рассмотрении случая `k=-1`. Сейчас исправлю.

[trulyalya]

VEk, то есть sin(pi/6-4)<sin(pi/6). Поэтому верхней границей будет значение для пи/6?
Спасибо за разъяснения.
В с6 я решение не особо смотрела, просто бросилось в глаза, что ответ с моим не сходится.

[VEk]

верхней границей будет значение для пи/6?

Да, именно так.

[Гость]

Из топика eek.diary.ru/p154542803.htm добавлены задания 4 варианта и пропущенное задание 2 варианта

[Гость]

Добавлены варианты 5 и 6.

[Гость]

Где 5 и 6???

[Гость]

В первом сообщении топика

[Гость]

Сумма шестнадцати чисел равна 0,5. Оказалось, что сумма каждых пятнадцати из этих шестнадцати чисел положительна. Какое наименьшее целое значение может иметь наименьшее из данных чисел?
Сумма восьми чисел равна `1 1/3`. Оказалось, что сумма каждых семи из этих восьми чисел положительна. Какое наименьшее целое значение может иметь наименьшее из данных чисел?

`{(sum_(i=1)^n x_i = s),(s gt 0),(s gt x_1), (s gt x_2), (...),(s gt x_n),(x_1 le x_2 le ... le x_n):}`

1. `x_1=0`, `x_2=x_3=...=x_n=s/(n-1)`
2. `x_1=-k`, `(x_2+...+x_j+x_(j+2)+...+x_n) > k`, `(n-2)(sum_(i=2)^n x_i) = (n-2)(k+s) gt (n-1)k`, `k lt ns-2s`, `k in NN`, `x_2=x_3=...=x_n=(s+k)/(n-1)`, `(s+k)/(n-1)*(n-2)-k=(sn-2s+kn-2k-nk+2k)/(n-1)=(sn-2s)/(n-1) > 0`
3. `x_1 = -k_1 le ... le x_p = -k_p < 0`; `{y_0=-k_1-...-k_p, x_(p+1),...,x_n}`, `k_1+...+k_p lt s(n-p+1) - 2s`, `AA i, AA p`,`1 le i le p le n`, `k_i lt k`

[Гость]

Трапеция ABCD с основаниями AD и BC вписана в окружность с центром в точке O. Найдите высоту трапеции, если ее средняя линия равна 3, и sin /_AOB = 3/5.

Из всех трапеций только около равнобедренной трапеции можно описать окружность, так как окружность можно описать около четырехугольника, только если сумма противоположных углов равна 180 градусов, следовательно, AB=CD.

/_BDA=1/2 /_AOB

Пусть h - высота, m - средняя линия, тогда tg /_BDA = h/m, h = m * tg/_BDA = m * tg(1/2 /_AOB) = m * sin /_AOB / (1 + cos /_AOB).

cos /_AOB = pm sqrt(1-sin^2 /_AOB) = pm 4/5.

h = (3*3/5)/(1+4/5)=1 или h = (3*3/5)/(1-4/5)=9

[Robot]

Гость
Большое спасибо за решения.
Первое попытаюсь осилить=)

[Гость]

Если что не так, не обессудьте. Набирал комментарий во сне. )

[Гость]

Вар.2 С5

Указание. `2cos^2...` сворачивается через двойной угол

Объясните, пожалуйста, если не трудно как свернуть.

[VEk]

`2cos^2(alpha)=1+cos(2alpha)`

[Гость]

C2. В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF сторона основания AB=2, боковое ребро SA=`sqrt(5)`. Найдите расстояние от вершины A до плоскости SCE.
помогите решить, пожалуйта