[lucva]

В треугольнике ABC проведена высота AD. Прямые, одна из которых содержит медиану BK, а вторая - биссектрису BE, делят эту высоту на три равных отрезка. Известно, что AB=4. Найдите сторону AC.
Не могу понять какие подобные треугольники рассматривать, подскажите.

@темы: Планиметрия

Comments

[VEk]

Первоисточник задачи можно?

[lucva]

Р.К.Гордин. ЕГЭ 2011. Задача С4

[lucva]

задача 6,20

[VEk]

lucva Спасибо! До завтра терпит?

[lucva]

желательно сегодня. дайте хотя бы наводку какие треугольники рассматривать

[VEk]

Сегодня пас, у меня уже почти ночь. Может что-то с раннего утра.

[lucva]

ну ладно, спасибо, буду завтра ждать

[Robot]

Попробуйте, до утра может сами раскрутите, я пока до конца не думала

[Robot]

BE является одновременно и биссектрисой угла В в треугольнике ABD
Так AG:GD=2:1, то по свойству биссектрисы внутреннего угла треугольника AB:BD=2:1, тогда 1) сразу находим BD и AD, длины каждого из трех равных отрезков (вдруг понадобятся) 2) угол BAD=30, а угол B равен 60 (углы ABG и GBD равны по 30 градусам)
Дальше пока не думала

[lucva]

Robot спасибо за чертеж
все получилось. дальше я нашел BD, длину каждого отрезка. затем построил в вершине A прямую, параллельную BD, там BK пересекается в точке p. доказываем что ABCP параллелограмм и BC=AP. треугольники BFD и AFP подобны и находим AP, затем BC. после нашел CD и через треугольник ACD нашел AC. Всем спасибо

[VEk]

Примерно так.
Предположим. что точка `D in [BC]`, т.е. высота `AD` расположена внутри треугольника. Тогда медиана BE пересекает эту высоты в точке, расположенной ниже середины высоты, и следует из условия, `ED = 1/3AD`. Поэтому `AD` еще и медиана и треугольник BAC равнобедренный, а его половина BAD прямоугольный треугольник. теперь о биссектрисе, она должна отсекать 1/3 высоты , считая от вершины A и по теореме о свойстве внутреннего угла треугольника `BA: BD - 1:2`. Противоречие (гипотенуза короче катета). Значит такой случай невозможен, и высота `AD` проходит вне треугольника `BAC`.
Теперь смотрим на рисунок предоставленный Robot. Ею уже указано, что `AD=2, /_BAD=30`.
Проведем, через точку A прямую, параллельную основанию BC, и продолжим медиану BK до пересечения с указанной прямой в точке `T`. Из подобия треугольников `TFA` и `BFD` получаем. что `AT=1`. Далее равенство треугольников BKC и TKA и теорема Пифагора.

[VEk]

lucva Специально расписал достаточно подробно обоснование того, что треугольник тупоугольный. Это самое важное в решение - обоснование вида треугольника.