двойной интеграл

[morgansar]

`int int x/ydxdy, D={1<=x^2/9+y^2/4<=5, x>=0, y>=2*x/3} `
фигура что-то вроде сектора сплюснутого компакт диска, переход в полярные координаты не получился, т.к. не могу найти угол, ибо tg(2/3) не существует. в декартовых-громоздкие вычисления и до ответа не дошел, что посоветуете знатоки?

@темы: Математический анализ, Интегралы

Comments

[VEk]

А что Вас смущает, если `tg(phi)=2/3`? Здесь рациональнее всего обобщенные полярные координаты. Если их использовать, получается вполне стандартный угол.

[morgansar]

Если их использовать получается вполне стандартный угол.

какой именно? arctg(2/3)?

[VEk]

Нет, `pi/4`.

[morgansar]

Нет, π4.

да как же вы так считали, там угол между 30 и 40 градусами

[VEk]

morgansar Вы запишите обобщенные полярные координаты и приведите свои расчеты. Проверим.

[morgansar]

после замены интеграл получается таким `int int a^2*rho*cos(phi)/sin(phi)drhodphi`, а вот как угол посчитать я не знаю

[VEk]

morgansar ВЫ неправильную замену используете. Надо `{(x=3rcos phi),(y=2rsin phi):}`. Якобиан , естественно, пересчитывать придется, но это мелочь.

[Alidoro]

А зачем вам полярные координаты? Переходите к тем, которые дадут простейший прямоугольный вид области.
VEk вам и говорит про обобщенные координаты.

[morgansar]

ВЫ неправильную замену используете

эту замену и использовал `int int a^2*rho^2cos(phi)/sin(phi)drhodphi, a=3, b=2`. Мне гораздо интереснее как углы найти, у одного интеграла пределы от pi/4 до pi получаются? Как Pi/4 получить?

[Alidoro]

Подставьте в `y=2*x/3` вашу замену и получите `sin phi = cos phi`

[morgansar]

спасибо за помощь, вот решил`int_(pi/4)^(pi/2)cosphi/sinphidphi int_1^sqrt(5) 9rhodrho=18int_(pi/4)^(pi/2)cosphi/sinphi=18log(sin(x))|от pi/4 до pi/2=18(log(1)-log(sqrt(2)/2))=9log2`

[VEk]

morgansar Пожалуйста. Но при оформлении решения для ВУЗа обязательно распишите вычисление Якобиана и получение коэффициента 9. Ответ верный.