Уравнение в целых числах

[Новый гость]

Подскажите, как решить уравнение в целых числах:
`6x^2-x*y+7*x+4*y-y^2=14`.
Единственная мысль была выделить полные квадраты, но не получилось.
Заранее спасибо.

@темы: Олимпиадные задачи, ЕГЭ, Теория чисел

Comments

[Robot]

Перепишите уравнение в виде
`y^2+(x-4)y-6x^2-7x+3=-11`
И рассмотрите левую часть как квадратный трехчлен относительно y
Сможете разложить на множители.
Далее используйте тот факт,что разложений числа -11 в произведение целых не так уж много

Метод был на студенческой олимпиаде. Задача 1. См. решение от составителей или — еще лучше— решение Алисы Селезневой (в комментариях)
eek.diary.ru/p152580944.htm

[Гость]

6x^2-x*y+7*x+4*y-y^2-14=0
y^2+(x-4)*y-(6x^2+7*x-14)=0
y = (-x+4 pm sqrt(25x^2+20x-40))/2

25x^2+20x-40=n^2, n in NN
(5x+2)^2-n^2=44
(5x+2-n)(5x+2+n)=44; 44=2*2*11
(5x+2-n)=1,(5x+2+n)=44; x=41/10, ....
(5x+2-n)=2,(5x+2+n)=22; x=20/10=2, n=10
(5x+2-n)=4,(5x+2+n)=11; x=11/10, ....

x=2, y=6
x=2, y=-4

PS. Надеюсь, что администрация не будет возражать против рассмотрения этого "естественного" решения.

[Robot]

В матем. тренинге по части С снижали, если не было обоснования необходимости и достаточности условия 25x^2+20x-40=n^2
И перебор больше - чем при первом способе (и не рассмотрены случаи, типа (-4)(-11))

[Гость]

Достаточно n >= 0. К неупоминанию 0 замечаний нет?
Это не является подробным решением.
Оставлена возможность для
Нельзя же нарушать правила.
С другой стороны - нет необходимости в искусственных или неочевидных шагах

[Гость]

(-4)(-11)

Вот, вот ... это - кошмар. Нужно было бы написать ... что это ни на что не влияет?
Вы всегда при разложении двух неотрицательных чисел на множители рассматриваете возможность появления четного количества отрицательных множителей?

[Гость]

И перебор больше - чем при первом способе

А что делать, если разложение не видно сразу?

[Robot]

Достаточно n >= 0

Вот этот момент не поняла

С другой стороны - нет необходимости в искусственных или неочевидных шагах

Я бы не сказала, что шаги в первом способе искусственны или неочевидны
Смысл тот же
Используется дискриминантный метод.
Но обнаруживается, что дискриминант "плохой", хотя там есть кусок полного квадрата. Поэтому добавляется такое число, чтобы квадрат был полным
Там у Алисы это хорошо рассказывается.

[Robot]

А что делать, если разложение не видно сразу?

Вот решение Alisa_Selezneva похожего задания

1) Решить в `ZZ`: `3x^2 - 7xy +2y^2 + 19x - 18y = -35`

Решение.

Прибавим к обеим частям данного уравнения константу `c`.
`3x^2 - 7xy +2y^2 + 19x - 18y+c = -35+c`;
`3x^2+(19-7y)x+2y^2-18y+c=-35+c`, (1).
Рассмотрим выражение, стоящее в левой части полученного равенства (1), как квадратный трёхчлен относительно переменной `x` и подберём такое значение константы `c`, при котором дискриминант этого квадратного трёхчлена будет являться полным квадратом.
`D=(19-7y)^2-4*3*(2y^2-18y+c)=25y^2-50y+361-12c=25y^2-50y+25+336-12c=(5y-5)^2+336-12c`.
Дискриминант `D` будет полным квадратом, при условии `336-12c=0`. Отсюда `c=28`.
При `c=28` уравнение (2) примет вид `3x^2+(19-7y)x+2y^2-18y+28=-7`, (2).
При этом `D=(5y-5)^2`, а корни квадратного трёхчлена будут равны
`x_1=(7y-19-5y+5)/6=(2y-14)/6=(y-7)/3`,
`x_2=(7y-19+5y-5)/6=(12y-24)/6=2y-4`.
Раскладывая левую часть уравнения (2) на множители, получим
`3(x-(y-7)/3)(x-(2y-4))=-7`;
`(3x-y+7)(x-2y+4)=-7`.
Если `x,y in Z`, то `(3x-y+7), (x-2y+4) in Z`.
Получается, что произведение двух целых чисел `(3x-y+7), (x-2y+4)` равно `-7`. А число `-7` можно разложить в произведение двух целых чисел только следующими четырьмя способами:
`-7=1*(-7)=-1*7=7*(-1)=(-7)*1`. В соответствии с возможными разложениями числа `-7` на два целых множителя получаем следующие 4 случая:
1. `{(3x-y+7=1),(x-2y+4=-7):}<=>{(3x-y=-14),(x-2y=-11):}<=>{(x=-1/5),(y=27/5):}` не подходит, так как `-1/5 !in Z`;
2. `{(3x-y+7=-1),(x-2y+4=7):}<=>{(3x-y=-8),(x-2y=3):}<=>{(x=-19/5),(y=-17/5):}` не подходит, так как `-19/5 !in Z`;
3. `{(3x-y+7=7),(x-2y+4=-1):}<=>{(3x-y=0),(x-2y=-5):}<=>{(x=1),(y=3):}` подходит, так как `1; 3 in Z`.
4. `{(3x-y+7=-7),(x-2y+4=1):}<=>{(3x-y=-14),(x-2y=-3):}<=>{(x=-5),(y=-1):}` подходит, так как `-5; -1 in Z`.

Ответ: `(1;3); (-5;-1)`.

[Гость]

Вот этот момент не поняла

n^2 = (-n)^2

Ограничение на диапазон n позволяет упорядочить разложение и уменьшить перебор.

Я бы не сказала, что шаги в первом способе искусственны или неочевидны

Сколько людей...

Там у Алисы это хорошо рассказывается.

Хорошо. Что это меняет? )

[Robot]

(5x+2-n)(5x+2+n)=44
Мы решаем в целых числах
И почему бы множителям не быть отрицательными?

[Гость]

Вот решение Alisa_Selezneva похожего задания

Не умножай число сущностей без необходимости (с)
Противоречие.

[Гость]

Мы решаем в целых числах

На самом деле? Не заметил )

[Robot]

В каком смысле что меняет?
Оба способа имеют право на существование.
Оба способа при грамотном оформлении получат 4 балла.

[Гость]

(5x+2-n)=-44,(5x+2+n)=-1; x=-49/10, ....
(5x+2-n)=-22,(5x+2+n)=-2; x=-28/10,...
(5x+2-n)=-11,(5x+2+n)=-4; x=-19/10, ....

[Гость]

Оба способа имеют право на существование

Только два? )

[Robot]

В данном случае обсуждаются два способа, о них и речь
будет третий - можно будет поговорить о его достоинствах и недостатках

[Heor]

Гость
Вот Вам третий, навскидку:

осторожно, набросок решения

`6*x^2 - x*y + 7*x - (y^2 - 4y + 4) + 4 = 14`
`6*x^2 - x*y + 7*x - (y - 2)^2 = 10`
Пусть `t = y - 2 => y = t + 2`

`6*x^2 - x*(t + 2) + 7x - t^2 = 10`
`6*x^2 - x*t + 5x - t^2 = 10`
`6*x^2 + 5x - (t^2 + x*t + (x^2)/4) + (x^2)/4 = 10`
`5*(x^2 + x + 1/4) - (t + x/2)^2 + (5*x^2)/4 - 5/4 = 10`
`5*(x + 1/2)^2 - (t + x/2)^2 + (5/4)*(x^2 - 1) = 10`
`(2x + 1)^2 - (4/5)*(t + x/2)^2 + (x^2 - 1) = 8`

Т.к. `x` и `t` - целые, то `(4/5)*(t + x/2)` - целое. => `x` - четное, `t + x/2` - кратно пяти
Пусть `x = 2*m`, `t + m = 5*k`
`(4*m + 1)^2 - 20*k^2 + (2m - 1)*(2m + 1) = 8`
`16*m^2 + 8m + 1 + 4*m^2 - 1 - 20*k^2 = 8`
`20*m^2 + 8*m - 20*k^2 = 8`
`5*m^2 + 2*m - 5*k^2 = 2`
`5*(m^2 - k^2) = 2*(1 - m)`
Отсюда, `k = +- m; m = 1`
`x = 2; y - 2 + 1 = +-5; y = +-5 + 1;`
Ответ:
`x = 2; y = 6`
`x = 2; y = -4`

Однако, я не понимаю что Вы хотите доказать.
Метод, указанный Robot, нормален и любому, кто хочет решать подобные уравнения очень желательно его знать.
Восставать против него бессмысленно.

Вы всегда при разложении двух неотрицательных чисел на множители рассматриваете возможность появления четного количества отрицательных множителей?

Всегда!

А что делать, если разложение не видно сразу?

Искать, разложение или придумывать иной способ решения.

P.S. В следующий раз прячьте решение, хотя бы под more.

[Новый гость]

Я ещё в тех методах не разобрался, а тут уже третий. Я бы ни до одного не додумался бы.

[Heor]

Новый гость
Разбирайтесь в том, что дала Robot.
Это стандартный метод. А остальные два - это шаманство. С ним надо быть аккуратным и, возможно, надо доказывать некоторые вещи отдельно.

[Новый гость]

Но обнаруживается, что дискриминант "плохой", хотя там есть кусок полного квадрата. Поэтому добавляется такое число, чтобы квадрат был полным

Вот это как раз трудно понять.

[Heor]

Новый гость
Какой дискриминант у Вас получился?

[Гость]

Перепишите уравнение в виде

Разбирайтесь в том, что дала Robot.

Это стандартный метод.

За исключением того, что нет метода "Перепишите уравнение в виде", все остальное верно, кроме

А остальные два - это шаманство

.

[Новый гость]

Да никакого ещё нет, я не свою задачу сейчас разбираю.

[Heor]

Гость
Есть метод: рассмотрите уравнение, как квадратное относительно одной из переменных.))

[Гость]

Перепишите уравнение в виде

И рассмотрите левую часть как квадратный трехчлен относительно y
Сможете разложить на множители.
Далее используйте тот факт,что разложений числа -11 в произведение целых не так уж много

Метод был на студенческой олимпиаде. Задача 1. См. решение от составителей или — еще лучше— решение Алисы Селезневой (в комментариях)

Есть метод: рассмотрите уравнение, как квадратное относительно одной из переменных.))

Не увидел. Покажите пальцем.

[Гость]

И, если уж говорить о методе, то

Перепишите уравнение в виде

- это шаманство.

[Новый гость]

Да, это я знаю, даже что-то решал этим методом. Мне непонятно прибавление константы и подбор такого значения, чтобы был полный квадрат - вот это я пытаюсь понять.

[Heor]

Гость
Я реально не понимаю, что Вы хотите доказать.

Новый гость
Полный квадрат в дискриминанте позволяет нам не тащить за собой корни при разложении на множители. Т.е. упрощает решение.
Иногда, сразу видно, что и куда надо перенести, иногда не сразу.

Если видно не сразу, то мы используем константу.
Рассмотрим уравнение `6*x^2 - x*y + 7*x + 4*y - y^2 = 14`
Будем рассматривать его как квадратное, относительно `y`.
Соответственно, перепишем его в виде
`y^2 +(x - 4)*y - 6*x^2 - 7x + c = c - 14`
Для разложения левой части на множители, найдем дискриминант квадратного трехчлена, поселившегося в левой части.
Он равен: `D = ...`

Подберем константу `c` так, что бы `D` был полным квадратом. И посмотрим, что получится.

[Гость]

Я реально не понимаю, что Вы хотите доказать.

Сожалею.

[Robot]

Heor
Гость хочет сказать, что моя подсказка не давала понять, почему первый шаг такой?
В рез-те метод оказывался искусственным


Гость
Помимо первой фразы Перепишите я дала ссылку на пример, разобранный более подробно, где вскрываются причины того, почему надо переписать уравнение в таком виде
Давайте не будем спорить, а то меня охватывает тоска
Больше способов хороших и разных. И т.д.
Пусть НГ разберется в том, что написано ранее.