Построить на комплексной плоскости

[alligator76]

Помогите разобраться с задачей. Бьюсь уже три дня, никак не могу прийти к ответу.

Определить и построить на комплексной плоскости семейства линий, заданных уравнением

Im `(1/(z+i))=C`

Нахожу

Im `(1/(z+i))=-(y+1)/(x^2+(y+1)^2)=C`

`Cx^2+Cy^2+2Cy+C+y+1=0`

Никак не могу понять, что это за поверхность.

Нашел решение похожего примера

Im `(1/z)=1`

Там получается в ответе окружность с центром в точке (0,-0.5) радиуса 0.5, у которой выколота точка (0,0). Но там все просто решается.

Подскажите, как решить?

@темы: Комплексные числа, ТФКП

Comments

[Гость]

Выделяйте полные квадраты по х и у (точнее, только по у, по х уже фактически есть), считая С числом

[alligator76]

Да я так и делаю, но этот параметр C никак не дает мне покоя.

У меня получается:
`Cx^2+C(y+1)^2+(y+1)=0`

Но как ЭТО изобразить на комплексной плоскости, я не знаю

[Гость]

Вы не выделили квадрат по у
`Cx^2+Cy^2+(2C+1)y+C+1=0`
`Cx^2+ C(y^2+(2+1/C)y+... -...)+C+1=0`
Вместо многоточий вы должны добавить, чтобы там выделился полный квадрат. И одновременно отнять.

[Гость]

В принципе надо , наверное, сразу рассмотреть случай С=0, а затем поделить на С, чтобы не мешался.

[alligator76]

Бр-р, совсем как-то невесело:

`Cx^2+ C(y^2+(2+1/C)y+(1+1/(2C))^2) -1-C-1/(4C)+C+1=0`

[Гость]

Вы забыли умножить на С то, что выносите
А первые два записываются
`Cx^2+C(y+1+1/(2C))^2+...=0` неплохо
(не забудьте сначала рссмотреть С=0 - это одна из Ваших линий, сейчас Вы уже рассматриваете С≠0)

[alligator76]

Да, ошибку понял. Уже исправил.

Получается

`Cx^2+ C(y+1+1/2C)^2-1/(4C)=0`

Как это изобразить на плоскости?

При С=0 получается прямая `y=-1`

[alligator76]

Если поделим на С, то получим:

`x^2+ (y+1+1/2C)^2=1/(4C^2)`

Т.е. это окружность с центром в точке (0,-1-1/2C) радиуса 1/2C. Я правильно все понял?

[Гость]

радиуса 1/2|C|

[alligator76]

Согласен. Спасибо за помощь!

[Гость]

Пожалуйста

[Гость]

...