C1.1, С3.2 (тренинг)

[17Infinity]

Помогите, пожалуйтса, разобраться.

C1.1 Решить уравнение `(sinx+cosx+sin2x-1)/(tgx-1)=0`.

Из второго ур-ния `tgx!=1`
`x!=pi/4+pi*n, x!=pi/2+pi*k n, k in Z`
Первое ур-ние:
`sinx+cosx+2sinx*cosx=1`
как его дальше преобразовать? Пробывал единицу расписать, но ничего не получилось

С3.2 Решите неравенство `sqrt(4sin^2x-1)*log_(sinx) ((x-5)/(2x-1))>=0`

Решение.

1) `{(4sin^2x-1=0),(sinx>0),(sinx!=1),((x-5)/(2x-1)>0):}`

1) данная система равносильна `{(x>5; x<1/2),(sinx=1/2):}`
Т.к. `1/2 < pi/6, (5pi)/6 < 5`, то решением системы будет совокупность
`[(x=pi/6+2pin),(x=(5pi)/6+2pin):}` `n in Z, n!=0`
Это как получается? Т.е как поступать, например, когда `x>1` или `x<-1` ?

@темы: ЕГЭ

Comments

[Гость]

Пробывал единицу расписать, но ничего не получилось

1 к левой и правой части

[Robot]

Я набирала тогда к тренингу решение 1 задачи, но не опубликовала
Вот оно:
С1.1.

`{(tgx!=1),(cosx!=0):}<=>{(x!=pi/4+pi*k,k inZ),(x!=pi/2+pi*n, n in Z):}`
Найдем значения х, при которых числитель равен 0
`sinx+cosx+sin2x-1=0`
Введем замену `t=sinx+cosx`, тогда `sin2x=t^2-1` и уравнение принимает вид
`t^2+t-2=0`, откуда `t=1` или `t=-2`
Возвращаясь к исходной переменной, получаем совокупность двух уравнений:
`sinx+cosx=1`(1) или `sinx+cosx=-2` (2)
Используем метод введения вспомогательного угла (прочитать о нем можно здесь: www.bymath.net/studyguide/tri/sec/tri16.htm )
1) `sin(x+pi/4)=1/sqrt(2)`, откуда `x+pi/4=pi/4+2*pi*k, k in Z` или `x+pi/4=3pi/4+2*pi*n, n in Z`, а следовательно, `x= 2*pi*k, k in Z` или `x=pi/2+2*pi*n, n in Z`
Вторая серия не входит в ОДЗ
2) `sinx+cosx=-2` Выполняя аналогичные преобразования, получаем: `sin(x+pi/4)=-sqrt(2)`. Данное уравнение решений не имеет

[Robot]

17Infinity
Решение С3.2 там опубликовано eek.diary.ru/p152642585.htm

[17Infinity]

Robot
За первое спасибо.
Решение С3.2 там опубликовано eek.diary.ru/p152642585.htm
Здесь часть решения с этого тренинга. У меня по нему вопрос.

[Robot]

17Infinity
Ой, я не посмотрела, что там вопрос именно по выложенному решению
Сейчас посмотрю

[Robot]

Вы или перебираете значения `n=0, +-1,...`, наблюдая начиная с какого х попадает в выделенный промежуток, или решаете соответствующее неравенство

[17Infinity]

Используем метод введения вспомогательного угла
`sin(x+pi/4)=1/sqrt(2)` Почему у вас получилось две серии и `2pi*k`, а не `pi*k`?
По методу должно получиться:
`x=(-1)^n*(pi/4)-pi/4 +pi*k`
Разве нет?


Robot
Вы или перебираете значения n, наблюдая начиная с какого х попадает в выделенный промежуток, или решаете соответствующее неравенство.
Можно подробней? Вот,например, как узнать какой промежуток соответсвует `x>5`?. Значения же ищем на единичной окружности и `|sinx|<=1`.
На нём же значений больше 1 нет.

[Robot]

Общая формула неудобна для отбора корней по каким-то ограничениям
Если вы вспомните школу, то сначала выводилось, что
`sinx=a`(`|a|<=1`) равносильно `x=arcsina+2pin` или `x=pi-arcsina+2pin`, а уж затем они записывались в виде общей формулы

Если вы привыкли к общей, то в данной ситуации вам все равно придется разбивать на две серии: при четном `k=2n` имеем ...
при нечетном `k=2n+1` имеем ...
=====
Вы путаете значения синуса и значения аргумента
х - любое действительное число.
Рассмотрим серию `x=pi/6+2pin`
`n=0` `x=pi/6` не удовлетворяет ни условию `x >5`, ни условию ` x <1/2`
`n=1` `x=pi/6+2pi >5`
ясно, что при `n > 1` `x=pi/6+2pin >5`и следовательно входит в множество (-00,1/2)U(5;+oo)
при `n <=-1` `2pin <=-2pi`, а тогда `pi/6+2pin <= pi/6-2pi < 1/2`, то есть тоже входит
Аналогично со второй серией

[quest_]

Введем замену `t=sinx+cosx`, тогда `sin2x=t^2-1` и уравнение принимает вид `t^2+t-2=0`, откуда `t=1` или `t=-2`

ой, я так же делала!

2) `sinx+cosx=-2` Выполняя аналогичные преобразования, получаем: `sin(x+π/4)=-2`. Данное уравнение решений не имеет

а это уравнение я по другому решала

но если мне 2 балла за него поставили, значит так тоже можно?

[Robot]

Можно, только хотели снять 1 балл из-за того, что нет объяснения, почему уравнение равносильно такой системе
А объяснять тут долго, потому лучше первым способом.

[quest_]

Можно, только хотели снять 1 балл из-за того, что нет объяснения, почему уравнение равносильно такой системе

из-за ограничености синуса и косинуса.
и еще по-моему мы это доказывали, ну что уравнения `sinx+cosx=2` и `sinx+cosx=-2` решений не имеют.
а графически можно? Или не стоит заморачиваться и сделать как у Вас?

[Robot]

Я лично встречала такое обоснование (для случая, когда в правой части 2)
`sinx <=1`
`cosx <=1`
поэтому
`sinx+cosx <=2`
При этом знак равенства имеет место тогда и только тогда, когда `sinx=1`и `cosx=1`
А потому уравнение `sinx+cosx <=2` равносильно системе ...

[quest_]

Спасибо. Приму к сведению.